такий, що xn > b - ?. За умовою, послідовність xn зростає:? ? ? ....
Значить, всі члени з номерами, більшими N, знаходяться між xn і b ( b- одна із меж), тобто, у всякому разі, всі вони належать? - околиця точки b. На «мовою околиць» це і означає, що xn = b. Що і потрібно було довести.
Теорема 6. Якщо послідовність убуває і обмежена знизу, то вона сходиться.
Дана теорема доводиться аналогічно.
Другий чудовий межа
,
де e - ейлерову число.
Доказ. Розглянемо додаткову послідовність
.
Тепер доведемо, що послідовність
xn =:
) монотонність (спадна),
) Обмежена знизу.
Для того щоб виконувалася умова 1, досить показати:> 1. Тоді отримуємо:
>
·.
Показали, що> 1, отже послідовність спадна.
Для того щоб виконувалася умова 2, необхідно знайти число m, таке що x n ? m - нижню межу. Застосовуючи нерівність Бернуллі для (при n N і для всіх h > - 1 виконується нерівність) отримуємо:
,
тоді m=2.
Значить, послідовність обмежена знизу числом 2. Таким чином, дві умови виконано, отже, послідовність має межу, який позначили ейлерову числом ? . Тобто
.
Тоді знайдемо межа цієї послідовності при
n? 0 , маємо
==== e
Отже,.
Число ? є одним із самих чудових чисел в математиці. Щоб обчислити ? , треба взяти досить велике значення значення n і обчислити. Однак, цей шлях обчислень дуже стомлює. Щоб, наприклад, отримати відповідь з точністю до 0,001, треба взяти приблизно n =3000. Ясно, що зводити чисто 1 + в 3001 ступінь вельми скрутно. Існує більш прості і швидкі методи обчислення. Ось кілька перших десяткових знаків ірраціонального числа ? :
? =+2,7182818284590 ....
Обчислення багатьох меж послідовностей пов'язано з числом ? . При цьому використовуємо наступне твердження:
Якщо an=a і bn=b , причому хоча б одне з чисел a, b відмінно від нуля, то
.
1.5 Теорема Штольца
У багатьох випадках для дослідження збіжності приватного двох послідовностей і виявляється корисним наступне твердження.
Теорема (Штольца). Нехай - зростаюча нескінченно велика послідовність, і нехай послідовність сходиться і має межу а . Таким чином,
=.
Доказ. Оскільки послідовність сходиться і має межею число а , то послідовність, де
=- а ,
нескінченно мала. Нехай N - будь-який фіксований номер і n> N. Використовуючи вираз для, розглянемо наступну серію нерівностей:
а () + (),
а () + (),
а () + (),
а () + ().
Так як - зростаюча нескінченно велика послідовність, то, починаючи з деякого номера, її елементи додатні. Будемо вважати, що при n? N ,> 0. Тоді з останнього рівності о...
