/>
=.
Вважаючи рівним чисельника цього дробу, а - знаменника, застосувавши теорему Штольца:
.
Але, а,
так, що остаточно,
.
Відповідь: =.
Приклад 8. Обчислити межа.
Рішення.
В вираз, що стоїть під знаком межі розкриємо дужки і наведемо подібні доданки, отримаємо
=,
так як, розділимо чисельник і знаменник найвищу ступінь, тоді
=.
Відповідь: .
Приклад 9. Знайти межа.
Рішення. Як і в прикладі 12, ділимо чисельник і знаменник на найвищу ступінь, отримуємо
==.
Відповідь: =0.
Приклад 10. Довести, що.
Рішення.
Візьмемо число> 0.Его можна представити у вигляді:, де> 0. За формулою бінома Ньютона маємо:
.
При n > 2,, і отже,. Покладемо. Тоді, і остання нерівність перепишемо у вигляді: або. Витягуючи квадратний корінь, маємо:. Користуючись теоремою 4 (0 =), отримаємо, що=0. Значить,
.
Що й потрібно було довести.
Відповідь: .
Приклад 11. .
Знайти: .
Рішення.
.
Відповідь: =3.
Приклад 12. Довести, що последовате?? Ьность має межу, рівний 1.
Рішення. Перетворимо вираз для:
.
Так як, то має місце нерівність:. Внаслідок того, що і, то по теоремі 4 отримаємо, що
.
Відповідь: .
Приклад 13. Довести існування границі послідовності із загальним членом.
Рішення. При будь-якому n ? 1 виконується нерівність
.
Тому послідовність монотонно й зростає. Далі, при n ? 1 має місце нерівність n ?, А тому
.
Отже, послідовність монотонно зростає і обмежена зверху, тобто виконується умова теореми 5. Отже, існує межа послідовності.
Відповідь: існує.
Приклад 14. Користуючись визначенням, довести, що послідовність, є нескінченно мала, то є що.
Рішення. Ми повинні показати, що для будь-якого, таке, що для всіх n> N величина <. Маємо:
=<.
Для кожного n , що задовольняє нерівності <, тобто для n> , буде справедливо і нерівність <.
Отже, за N можна взяти. Що й потрібно було довести.
Відповідь:
Приклад 15. Нехай q - число, що задовольняє умові:> 1. Довести, що, тобто що послідовність нескінченно велика.
Рішення. Так як> 1, то поклавши, бачимо, що h > 0. Тоді за нерівністю Бернуллі:
.
Так як всі доданки в останній сумі позитивні, то>.
Послідовність нескінченно велика. Значить, і - нескінченно велика послідовність, тобто
.
Відповідь: .
При знаходженні меж змінних величин, і зокрема послідовностей, часто виявляється корисною теорема про межу проміжної змінної.
Приклад 16. Довести, що послідовність не має межі.
Рішення. Перепишемо у вигляді:
...
