дині циліндра Зз направляючою і утворюючими, паралельними променю.
Теорема 8: Нехай Т - регулярний седловой ріг в. Тоді для будь-якої точки А і будь-якій послідовності точок, розбіжної на Т, відрізки сходяться до деякого променю - направленню роги Т. Ріг Т лежить всередині замкнутого циліндра, що утворюють якого паралельні променю [2,405].
Теорема 9: Нехай Т - регулярний седловой ріг в. Тоді, якщо обертання роги, то безліч буде окружністю великого кола на одиничній сфері, площина якого перпендикулярна напрямку роги Т. Якщо, то або, або буде дугою на, неменшою півкола [2,406].
Зауваження: Приклад повної поверхні F негативної кривизни, що має ріг, для якого, заданої в циліндричних координатах рівнянням показує, що може бути півколом (рис.24). Поверхня F має однолістной сферичне зображення. Відзначимо ще, що якщо, то плоскі пояса на Т мають самопересеченія.
3.3 Проблема Плато
Проблема Плато формулюється наступним чином: Дана деяка замкнута крива. Потрібно провести через цю криву поверхню з мінімальною площею. На шуканих поверхнях повинно мати місце співвідношення. Рівняння являє собою диференціальне рівняння екстремалів нашої варіаційної задачі. Поверхні з тотожно рівний нулю середньої кривизною, так як вони є рішеннями мінімальної завдання Плато, називаються мінімальними поверхнями. Дослідженнями, що відносяться до мінімальним поверхням, займалися Лагранж, Монж, Ріман, Вейерштрасс, Шварц, Бельтрамі, Лі та Рібокур. Якщо заздалегідь обмежитися тільки аналітичними поверхнями, то визначення мінімальних поверхонь можна легко звести до знаходження ізотропних кривих. Введемо на деякої кривої поверхні два сімейства ізотропних кривих, для яких, як параметричних ліній. Будемо мати, і для середньої кривизни ми отримаємо:
.
Якщо, то повинно мати місце співвідношення. Диференціюючи співвідношення, по і, ми отримаємо і. Враховуючи рівність, де - одиничний вектор нормалі, маємо: лінійно незалежні. Звідси випливає, що тотожне звертається в нуль. Ми маємо, отже,. В силу рівності отримуємо.
Знайдений результат можна виразити таким чином: мінімальні поверхні є поверхнями зсуву, напрямними яких служать ізотропні криві. Таким чином інтегрування диференціального рівняння зводиться до визначення ізотропних кривих.
. 4 Повні сідлові поверхні із взаємно однозначним сферичним зображенням
Якщо регулярна орієнтована поверхню F в має локально топологічне сферичне відображення, то гауссова кривизна До на F не міняє знака. На основі цього А.Л.Вернер запропонував наступну класифікацію сферично однолістних сідлових поверхонь.
Будемо вважати, що поверхня F повна. Тоді, якщо К, то F - опукла поверхня, а тому взаємно однозначно. Якщо К, то у F може бути будь ейлерова характеристика.
Розглянемо повні регулярні (класу) сідлові поверхні з взаємно однозначним сферичним відображенням. Клас таких поверхонь позначимо через Є. Поверхні цього класу називаються сферично однолістной сідловими поверхнями.
Разом з повними опуклими поверхнями сферично однолистні сідлові поверхні утворюють клас повних поверхонь із взаємно однозначним сферичним відображенням.
Лемма 1: На сферично однолістной седловой поверхні не існує двох непересічних простих замкнутих геодезічесакіх [2,420].
Будемо вважати, що поверхня визначається в зануренням f:. Оскільки F і W гомеоморфні області, то F і W мають рід нуль. Тому можна вважати, що W буде сферою, з якої видалено кінцеве число точок - нескінченно віддалених точок різноманіття W. При цьому, оскільки. Точки будемо називати також нескінченно віддаленими точками поверхні F. Кожній нескінченно віддаленій точці на F відповідає трубка, що має своєю нескінченно віддаленою точкою. Трубка може бути рогом або чашею. Тому про кожну нескінченно віддалену точку будемо говорити, що вона відповідає рогу або чаші на F. Трубки на F вважаємо еквівалентними, якщо вони мають однакові нескінченно віддалені точки, і нееквівалентними в іншому випадку.
Кордон сферичного образу поверхні F має стільки ж компонент,, скільки нескінченно віддалених точок біля поверхні F. Ми вважаємо, що компонента відповідає точці, тобто є множиною для трубки з нескінченно віддаленою точкою, і називаємо сферичним зображенням нескінченно віддаленої точки.
Припустимо, що точка відповідає рогу. Тоді безліч буде або великою окружністю на, коли має ненульове обертання, або дугою великому колу, неменшою півкола, коли.
Так як множини попарно не мають спільних точок, то зі сказаного вище і властивості сферичного образу ...
