F n , і нехай x i 0 , останній з них. Тоді при i> i 0 необхідно буде x 1 ГЋF m , тобто при i> i 0 виявляється j (x i ) = j (x 0 ), а це доводить лему . p>
Лемма 2. Нехай F є замкнутий безліч, міститься в сегменті [ a , b ]. Якщо функція j ( x ) задана і неперервна на безлічі F , то можна визначити на [ a , b ] функцію y ( x ) з наступними властивостями
1) y ( x ) неперервна;
2) якщо x ГЋ F , то y ( x ) = j ( x < i>);
3) max | y ( x ) | = max | j ( x ) |.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Позначимо через [a, b] найменший сегмент, що містить безліч F. Якби необхідна функція y (x) була вже побудована на сегменті [a, b], то достатньо було б доповнити її визначення, вважаючи
В
щоб отримати необхідну функцію вже на всьому сегменті [a, b].
Тому, не обмежуючи спільності, можна вважати що [a, b] і є найменший сегмент, що містить безліч F.
Якщо F = [a, b], то теорема тривіальна. Будемо вважати, що F В№ [A, b]. Тоді безліч [a, b] - F складається з кінцевого або рахункового безлічі взаємно не налягати інтервалів, кінці яких належать F (Додаткових інтервалів безлічі F). p> Задамо функцію y (x), вважаючи її рівною j (x) в точках множини F і лінійної на всіх додаткових інтервалах.
Переконаємося в безперервності цієї функції. Безперервність її в кожній точці безлічі [a, b] - F очевидна.
Нехай х 0 є точка множини F. Ми покажемо, що функція y (x) неперервна в цій точці ліворуч (безперервність праворуч встановлюється абсолютно аналогічно).
Якщо точка х 0 служить правим кінцем якогось додаткового інтервалу, то безперервність функції y (x) в цій точці зліва очевидна.
Нехай же x 0 не є правим кінцем ніякого додаткового інтервалу і нехай x 1 2 3 <... послідовність точок, прагнуть до x 0 .
Якщо x n ГЋF (n = 1, 2, 3, ...) то, використовуючи безперервність на безлічі F функції j (x), маємо y (x n ) = j (x n ) В® j (x 0 ) = y (x 0 ). Тому можна вважати, що х n F (n = 1, 2, 3, ...). p> У такому випадку точка x 1 потрапляє в якийсь додатковий інтервал (l 1 , m 1 ), причому m 1 <х 0 . Продовжуючи це міркування, ми приходимо до послідовності (l 1 , m 1 ), (l 2 , m 2 <...
