/sub>), (l 3 , m 3 ), ... додаткових інтервалів, розташованих у порядку номерів зліва направо і таких, що
X k ГЋ (l 1 , m 1 ) (k = n i -1 +1, ..., n i ).
Співвідношення x ni i 0 показує, що m i , а з того, що m i -1 ВЈ l i 0 , ясно, що і l < sub> i В® x 0 .
Але l i і m i входять в F, так що
lim y (l i ) = lim y (m i ) = y (x 0 ).
Зважаючи того, що значення лінійної функції в якому-небудь інтервалі лежать між її значеннями на кінцях цього інтервалу, ясно, що і limy (x n ) = y (x 0 ).
Отже, безперервність функції y (x) доведена.
З самого її побудови видно, що вона збігається з j (x) на множині F.
Нарешті по відомій теоремі Вейєрштрасса, серед значень неперервної на сегменті функції | y (x) | є найбільше - max | y (x) |. Легко бачити, що цей максимум досягається саме в крапці, що належить безлічі F, бо на додаткових інтервалах функція y (x) лінійна. Тому max | y (x) | = max | j (x) |. p> Лемма доведена повністю.
Теорема 2 (Е. Борель). Нехай на сегменті [ a, b] задана вимірна і майже скрізь кінцева функція f ( x). Які б не були числа s> 0 і e> 0 існує безперервна на [ a, b] функція y ( x), для якої
mE (| f- y | Ві s) < e
Якщо при цьому | f ( x) | ВЈ K, то можна і y ( x) вибрати так, що | y ( x) | ВЈ ; K.
Д о к а із а т е л ь с т в о. Припустимо спочатку, що | f (x) | ВЈ K, тобто що функція f (x) обмежена.
Фіксуючи довільні s> 0 і e> 0, знайдемо настільки велике натуральне m, що K/m
(I = 1 - m, 2 - m, ..., m - 1)
В
Ці безлічі вимірні, попарно не перетинаються і
В
Побудуємо для кожного i замкнутий безліч F i ГЊ E i з мірою і покладемо.
Ясно, що, звідки m [a, b] - mF
Задамо тепер на безлічі F функцію j (x), вважаючи
при xГЋF i (I = 1 - m, ..., m). p> У силу леми 1 ця функція неперервна на множині F, | j (x) | ВЈ K і, нарешті, при xГЋF буде | f (x) - j (x) | Залишається застосувати лему 2. Це призводить до безперервної функції y (x), що збігається на множині F з функцією j (x), причому | J (x) | Ві K. Оскільки E (| f - y | Ві s) ГЊ [a, b] - F, ясно, що функція y (x) необхідна. p> Отже, для обмеженої функції теорема доведена.
Припустимо тепер, що f (x) не обмежена. Тоді, користуючись теоремою 1, можна побудувати таку обмежену ф...
