Нехай на множині Е задана вимірна, майже скрізь кінцева функція f ( x ). Яке б не було e > 0, існує вимірна обмежена функція g ( x ), така, що mE < i> ( f В№ g ) < e .
Д про до а із а т е л ь с т в о. Покладемо
А k = E (| f |> k), Q = E (| f | = + ВҐ).
За умовою, mQ = 0. Зважаючи очевидних співвідношень
А 1 Г‰ А 2 Г‰ А 3 Г‰ ...,
буде (теорема 12) при k В® ВҐ
mA k В® mQ = 0.
Значить, знайдеться таке k 0, що mA k 0
Визначимо на множині E функцію g (x), вважаючи
В В
Ця функція вимірна і, крім того, обмежена, оскільки g (x) ГЄ k 0 . Нарешті, E (f В№ g) = A ko , що й доводить теорему.
Доведена теорема означає, що всяка измеримая і майже скрізь кінцева функція стає обмеженою, якщо знехтувати безліччю як завгодно малої заходи.
Визначення. Нехай функція F (x) задана на безлічі E і x 0 ГЋE, причому F (x 0 ) В№ ; В± ВҐ. Кажуть, що функція F (x) неперервна в точці х 0 у двох випадках: 1) якщо х 0 є ізольована точка E, 2) якщо х 0 ГЋ E Вў і співвідношення x n В® x 0 , x n ГЋE тягнуть співвідношення
f (x n ) В® f (x 0 ).
Якщо f (x) неперервна в кожній точці множини E, то говорять, що вона неперервна на цій множині.
Лемма 1 . Нехай безлічі F 1 , F 2 , ..., F n замкнуті і попарно перетинаються. Якщо функція j ( х), задана на безлічі
В
постійна на кожному з множин F k , то вона неперервна на безлічі F .
Д про до а із а т е л ь с т в о. Нехай x 0 ГЋF 'і x i В® x 0 , x i ГЋF.
У силу замкнутості множини F точка x 0 належить цій безлічі і, стало бути, знайдеться таке m, що x 0 ГЋF m .
Але безлічі F k попарно перетинаються. Значить, якщо k В№ m, то х 0 F k і, в силу замкнутості безлічі F k , точка x 0 не є і граничної точкою цієї множини.
Звідси випливає, що в послідовності {x i } може бути тільки кінцеве число точок, що належать безлічі F k при k В№ m. Зазначимо всі члени послідовності, які входять в одне з множин F 1 , ..., F m -1 , F m +1 , ..., ...
