p> ==
=.
2. Довести, що при a + b + c = 0 справедливо тотожність
.
Згідно таблиці 3, ми маємо:
.
У цьому прикладі нам знадобилося обчислити значення статечної суми за умови, що. Ці значення наведені в наступній таблиці:
Таблиця 3
Вирази статечних сум sn = xn + yn + zn через,
при виконанні умови
s 1 0s 6 s 2 s 7 s 3 s 8 s 4 s 9 s 5 s 10
3. Розкласти на множники многочлен
.
Вважаючи a = yz, b = zx, c = xy, знаходимо:
==
(ми скористалися формулою наведеною в таблиці 3).
Нерівності
Ясно, що для будь-яких дійсних чисел x, y, z справедливо нерівність
(x-y) + (y-z) + (z-x) 0,
причому рівність досягається лише у випадку, коли x = y = z. Ліва частина написаного нерівності є симетричним многочленом від x, y, z. Розкриваючи дужки, ми без праці перепишемо це нерівність у вигляді або, використовуючи формули, наведені в таблиці 1
(5)
Отже, для будь-яких дійсних чисел x, y, z справедливо нерівність (5); рівність досягається лише при x = y = z.
Зі співвідношення (5) можна отримати цілий ряд інших нерівностей. Розглянемо приклади. p align="justify"> 1. Довести, що для будь-яких дійсних чисел a, b, c, справедливо нерівність
В
вказане нерівність має вигляд.
Нерівність (5) має вигляд
В
Вважаючи тут x = ab, y = ac, z = bc, отримуємо:
В
Або
В
а це і є доказувана нерівність. (Рівність досягається лише у випадку, якщо a = b = c або якщо серед чисел a, b, c будь два рівні нулю.). p align="justify"> 2. Довести, що для будь-яких позитивних чисел a, b, c, справедливо нерівність
.
Зазначене нерівність можна переписати у вигляді оскільки можна записати.
Оскільки числа a, b, c позитивні, то,,. Тому нерівності, можна перемножити. Ми отримуємо. Скорочуючи на позитивну величину, ми отримуємо необхідну нерівність. p> (Рівність досягається лише у випадку, якщо a = b = c.).
...
