Звільнення від ірраціональності в знаменнику
Симетричні многочлени дозволяють вирішувати багато важкі завдання на звільнення від ірраціональності в знаменнику.
У разі, коли знаменник має вигляд або, це завдання можна вирішити і без застосування симетричних многочленів. Для цього досить використовувати формули
(x + y) (x-y) = x2-y2,
xn-yn = (x-y) (xn-1 + xn-2y + xn = 3y2 + ... + yn-1);
x2k +1 + y2k +1 = (x + y) (x2k-x2k-1y + x2k-2y2-... + y2k).
Наприклад, якщо треба звільнитися від ірраціональності в знаменнику виразу
,
то спочатку множимо чисельник і знаменник на В«поєднане виразВ» (що призводить знаменник до виду), потім - на. Ми отримуємо:
.
Тепер вже можна використовувати другу з наведених вище формул. Покладемо в ній x =, y =. Тоді ясно, що треба помножити чисельник і знаменник на вираз
x2 + xy + y2 =.
Після множення отримаємо:
.
Складніше йде справа, якщо знаменник складається з трьох або більшого числа ірраціональних доданків. Тут-то і можуть допомогти симметрические многочлени. p> Запишемо формули, які дозволяють позбутися від ірраціональності в знаменнику з трьома складовими.
В
вважаючи,,.
В
Розглянемо наступні приклади.
1. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику виразу
В
вважаючи,,.
Скористаємося формулою:
====
=
АНТІСІММЕТРІЧЕСКІЕ многочлен ВІД ТРЬОХ ЗМІННИХ
Визначення та приклади
До цих пір ми розглядали симметрические многочлени, тобто многочлени, що не змінюються при перестановці будь-яких двох змінних. Тепер ми розглянемо інший, дуже близький клас многочленів - антісімметріческіе многочлени. Так називають многочлени, що міняють знак при перестановці будь-яких двох змінних. p align="justify"> Розглянемо антісімметріческіе многочлени від трьох змінних. Прикладом такого многочлена може служити многочлен
(x-y) (x-z) (y-z).
Справді, якщо поміняти місцями x і y, то він перетвориться на многочлен
(yx) (yz) (xz) = - (xy) (xz) (yz).
Точно так само він змінює знак при перестановці будь-яких інших змінних.
Відзначимо наступне важлива властивість антісімметріческіх многочленів: квадрат антісімметріческого многочлена є симетричним многочленом.
Справді, після перестановки будь-яких двох змінних антісімметріческій многочлен змінює знак. Але це залишає незмінним квадрат многочлена. Значить, квадрат антісімметріческого многочлена не змінюється при будь перестановці двох змінних, тобто є симетричним мно...
