нулю. Тому r (x) = r є числом. Отже,
? (x) = (x-a) q (x) + r.
Щоб знайти число r, покладемо в цій рівності x = a. Ми отримаємо? (A) = r. Теорема Безу доведена. p> Підкреслимо ще раз, що, вирішивши кубічне рівняння (), ми знаходимо відразу шість рішень для первинних невідомих x, y, z: оскільки в систему () невідомі x, y, z входять симетрично, то можна переставляти їх і в рішенні.
Розглянемо приклад.
1. Вирішити систему рівнянь
В
Введемо нові невідомі,,, поклавши
x + y + z =,
xy + xz + yz =,
xyz =.
У силу формул, наведених у таблиці 1, ми маємо для нових невідомих систему рівнянь:
В
З цієї системи знаходимо:
У розгорнутому вигляді ця система записується так:
x + y + z = 2,
xy + xz + yz = -1,
xyz = -2.
Для вирішення цієї системи складаємо (згідно теоремі) кубічне рівняння
u3-(u1 + u2 + u3) u2 + (u1u2 + u1u3 + u2u3) u-u1u2u3 = 0,3-2u2-u +2 = 0.
Ліва частина рівняння розкладається на множники:
u3-2u2-u +2 = (u-2) (u2-1).
Отже, корінням цього рівняння є числа
u1 = 2, u2 = 1, u3 = -1.
Тому наша вихідна система має шість рішень, які утворюються перестановками з рішення
x = 2, y = 1, z = -1.
Зауважимо, що в деяких випадках нескладна попередня заміна змінних дозволяє звести несиметричну систему до симетричною.
Розклад на множники.
Перехід до елементарних симметрическим многочленів,, зручний не тільки для вирішення систем алгебраїчних рівнянь, а й в інших алгебраїчних задачах. У цьому пункті ми розглянемо завдання про розкладання на множники. p> Нехай? (x, y, z) - симметрический многочлен від трьох змінних. Щоб розкласти цей многочлен на множники, можна виразити його через,, і спробувати розкласти на множники вийшов многочлен від,,. p> Якщо це вдасться, то, підставляючи значення,,, ми отримаємо розкладання на множники вихідного многочлена? (x, y, z).
Розглянемо приклади.
1. Розкласти на множники многочлен
В В
2. Розкласти на множники многочлен
В
У силу основних формул, необхідних для вирішення завдань, наш многочлен можна записати у вигляді
В
Зазначені прийоми придатні лише в тому випадку, якщо симметрический многочлен вдається розкласти на симметрические множники.
Доказ тотожностей
У цілому ряді завдань на доказ тотожностей з успіхом можуть бути застосовані елементарні симетричні многочлени. Розглянемо приклади. p align="justify"> 1. Довести тотожність
=
=
==
==
<...
