тики Dn +, яке визначається як рішення рівняння:
{Dn +? Dn + (Q)} = 0,01 Q.
Якщо в результаті експерименту виявиться, що Dn +? Dn + (Q), то згідно з критерієм Смирнова з рівнем значущості Q гіпотеза Н0 повинна бути відкинута. p> Значення зручніше обчислювати таким способом. Нехай
В
Де
В
Тоді
В
2. Практична частина
.1 Рішення задач про типах збіжності
. Довести що з збіжності майже напевно слід збіжність за ймовірністю. Привести контрприклад, що показує, що зворотне не вірно. p> Рішення. Нехай послідовність випадкових величин, ...,, ... сходиться до випадкової величиною майже напевно. Значить, для будь-якого 0
= 0
Так як, то () P ()
і з збіжності до майже напевно випливає, що сходиться до по ймовірності оскільки в цьому випадку
= 0
Але зворотне твердження невірно.
Нехай,, ...,, ... - послідовність незалежних випадкових величин, що мають одну і ту ж функцію розподілу F (x), рівну нулю при x0 і рівну 1 при x0.Рассмотрім послідовність
=, =, ..., = ...
Ця послідовність сходиться до нуля за ймовірністю, так як
P () = 1P () = 1F () =
прагне до нуля при будь-якому фіксованому та n. Однак збіжність до нуля майже напевно мати місце не буде. Дійсно
= 1P () = 1P () =
= 1 = 1 = 1
Прагне до одиниці з імовірністю 1Прі будь-яких і n в послідовності,, ...,, ... знайдуться реалізації, що перевершують.
Зазначимо, що за наявності деяких додаткових умов, що накладаються на величини, збіжність за ймовірністю тягне збіжність майже напевно.
. Нехай монотонна послідовність. Довести, що в цьому випадку збіжність до по ймовірності тягне за собою збіжність до з імовірністю 1. p> Рішення. Нехай монотонно спадаючий послідовність, тобто ....... Для спрощення наших міркувань будемо вважати, що 0, 0 при всіх n. Нехай сходиться до по ймовірності, проте збіжність майже напевно не має місце. Тоді існує 0, таке, що при всіх n
0.
Але = і сказане означає, що при всіх
0.
Що суперечить збіжності до по ймовірності. Таким чином, для монотонної послідовності, збіжної до по ймовірності, має місце і збіжність з імовірністю 1 (майже напевно). p>. Нехай послідовність xn сходиться до x по ймовірності. Довести, що з цієї послідовності можна виділити послідовність, сходящуюся до x з імовірністю 1 при. p> Рішення
Нехай - деяка послідовність позитивних чисел, причому, і - такі позитивні числа, що ряд. Побудуємо послідовність індексів n1
В
Тоді ряд
В
Так як ряд сходиться, то при будь-якому? > 0 залишок ряду прагне до нуля. Але тоді прагне до нуля і
тобто
. Довести, що з збіжності в середньому якого або позитивного порядку слід збіжність за ймовірністю. Н...
