?. Для обчислення статистики критерію необхідно знати розподіл статистики критерію не тільки при нульовій гіпотезі, але і при альтернативах. Тому функцію W (F) вдається знайти не у всіх випадках. p> Слід зазначити, що важливим показником кожного критерію є трудомісткість практичної реалізації відповідного алгоритму. На практиці, коли потрібно швидко отримати відповідь, перевагу нерідко віддається просто реализуемому критерієм, навіть якщо він не є оптимальним у теоретичному сенсі. br/>
1.2.3 Критерій однорідності Смирнова
Нехай? 1,? 2, ...,? n - взаємно незалежні і однаково безперервно розподілені випадкові величини, і нехай? 1?? 2? ...?? N. p> Емпіричними називають розподіл дискретної випадкової величини? *, яка приймає значення? 1,? 2, ...,? N з однаковими ймовірностями, рівними 1/n:
{? * =? i |? 1,? 2, ...,? N} = 1/n, (i = 1,2, ..., n)
Функція емпіричного розподілу виражається рівністю
(x |? 1, ...,? n) = P {? * 2, ...,? n} =
І при кожному дійсному х є випадковою величиною (функцією від? 1,? 2, ...,? n). Надалі функцію емпіричного розподілу ми будемо позначати Fn (x), не зазначаючи явно залежності від величин? I. Так як
Fn (x) F (x), D Fn (x) [1-F (x) 0 (n)
де F (x) - функція розподілу вихідних величин? i (функція теоретичного розподілу), Fn (x) - незміщена і заможна оцінка для F (x).
Якщо функція теоретичного розподілу достовірно відома і лише висловлюється гіпотеза, згідно з якою цієї функцією є деяка задана функція безперервного розподілу F (x), яка не містить невідомих параметрів, то позначаємо таку гіпотезу символом H 0:
: Fn (x) F (x)
Точно також виражаються гіпотези, що конкурують з H0:
+ {? [F (x)]}: sup | x | 0, - {? [F (x )]}: inf | x | 0,
де? (F) - задана неотрицательная функція (її часто називають ваговій функцією).
Розглянемо критерій Смирнова, призначеного для перевірки гіпотези Н0 при конкуруючої гіпотезі Н1.Статістікі критерію задаються формулами:
= sup | x | <| Fn (x)-F (x) |, + sup | x | <(Fn (x)-F (x)),
де в лівих частинах знаки + і - вказують відповідну конкуруючу гіпотезу Н1 + і Н1-.
Для практичних обчислень цих статистик корисні інші формули, еквівалентні попереднім: + =, =.
Якщо гіпотеза Н0 вірна, то статистики Dn + і Dn-розподілені однаково, тому надалі ми будемо розглядати лише критерій, обгрунтований на статистиці Dn +:
{Dn +? x} =, (0
З граничних теорем і асимптотичних формул випливає, що якщо n і 0
.
Іншими словами при великих значеннях n статистика (6nDn + +1) 2/(9n) наближено розподілено як? 2с двома ступенями свободи. З ростом n похибки убувають як 1/n. Нехай Q - заданий рівень значимості, виражений у відсотках (0
