аведіть приклад, що показує, що зворотне твердження невірно. p> Рішення. Нехай послідовність xn сходиться до величини x в середньому порядку р> 0, тобто
В
Скористаємося узагальненим нерівністю Чебишева: для довільних? > 0 і р> 0
В
Спрямувавши і враховуючи, що, отримаємо, що
В
тобто xn сходиться до x по ймовірності.
Однак збіжність за ймовірністю не тягне за собою збіжність в середньому порядку р> 0. Це показує наступний приклад. Розглянемо імовірнісний простір ГЎW, F, RГ±, де F = B [0, 1] - борелевская s-алгебра, R - міра Лебега. p> Визначимо послідовність випадкових величин таким чином:
В
Послідовність xn сходиться до 0 за ймовірністю, так як
,
але при будь-якому р> 0
,
тобто збіжність в середньому мати не буде.
. Нехай, при чому для всіх n. Довести, що в цьому випадку xn сходиться до x в середньоквадратичному. p> Рішення. Зауважимо,, то й. Отримаємо оцінку для. Розглянемо випадкову величину. Нехай? - Довільне позитивне число. Тоді при і при. p> Значить,
.
Якщо, то і. Отже,. А оскільки? як завгодно мало і, то при, тобто в середньоквадратичному.
. Довести, що якщо xn сходиться до x по ймовірності, то має місце слабка збіжність. Наведіть контрольний приклад, що показує, що зворотне твердження невірно. p> Рішення. Доведемо, що якщо, то в кожній точці х, яка є точкою неперервності (це необхідна і достатня умова слабкої збіжності), - функція розподілу величини xn, а - величини x. p> Нехай х - точка безперервності функції F. Якщо, то справедливо принаймні одна з нерівностей або. Тоді
.
Аналогічно, при справедливо хоча б одна з нерівностей або і
,
або
.
Звідки
.
Якщо, то для як завгодно малого? > 0 існує таке N, що при всіх п> N
.
Тоді
В
З іншого боку, якщо х - точка безперервності то можна знайти таке? > 0, що для як завгодно малого
В
і
.
Значить, для як завгодно малих? і існує таке N, що при п> N
,
або
В
або, що те ж саме
.
Це означає, що у всіх точках безперервності має місце збіжність і. Отже, з збіжності за ймовірністю випливає слабка збіжність. p> Протилежне твердження, взагалі кажучи, не має місця. Щоб переконатися в цьому, візьмемо послідовність випадкових величин,, що не рівних з імовірністю 1 постійним і мають одну і ту ж функцію розподілу F (x). Вважаємо, що при всіх п величини і незалежні. Очевидно, слабка збіжність має місце, так як у всіх членів послідовності одна і та ж функція розподілу. Розглянемо:
В
| З незалежності і однаковою распределенности величин, випливає, що
.
тобто
В
Виберемо серед всіх функцій розподілів невироджених випадкових величин таку F (x), щ...
