p> Так як, а і, то і. Так як, а, то. Таким чином точка являється спільною точкою площинах і. Точка такоже являється спільною точкою площинах. Тому - пряма, по Якій перетінаються січна площинах з площинах бокової Грані піраміди.
)
).
Оскількі за побудову вершини чотірікутніка являються точками, Які лежати в січній площіні и належати ребрам піраміди, то многокутнік - шуканій переріз.
Так як за змістом задачі точки, и не лежати на одній прямій, то завдання має єдине решение.
метод - метод внутрішнього проектування.
розвязання.
Як и в попередня прікладі Знайдемо проекції точок, і - точки, і.
) І,
),
),
)
Ясно, що. Дійсно,, тобто, и того. Альо, тобто.
),
),
).
Отримання чотірікутнік - шуканій.
Засоби Завдання перерізів многокутніків очень різноманітні. Січна площинах может буті задана двома точками та якоюсь прямою, Якою завдань переріз паралельно або перпендикулярно, двома точками и площинах, Якою задано переріз паралельно або перпендикулярно, и т. Д.
Приклад 2.
У правільній трікутній піраміді проведено переріз, паралельно ребру, Який проходити через точки і - середини ребер и відповідно.
розв язання.
Нехай чотірікутнік з его діагоналямі та являється збережений даної піраміди (малий. 14). Зрозуміло, что двома точками и та прямою Цілком візначається положення січної площини. Таким чином, завдання про побудові перерізу на цьом зображенні віконувана. Перейдемо до зображення січної площини.
Позначімо січну площинах через.
Так як,,,, то,. Альо, і. Тоді. Далі,
).
Так як, то площинах, яка проходити через ребро, перетне по прямій, яка проходити через точку и паралельній ребру. Тому
). Аналогічно
), после цього
).
Ясно, что чотірікутнік задовольняє умові задачі и того являється шуканім перерізом. Чи не Важко переконатіся, что Потрібний переріз існує, при тому только один.
Зауваження.
Метод відповідності Зручне застосовуваті тоді, коли слід січної площини у площіні основи багатогранника або тіл Обертаном лежить за межами креслення ціх фігур. Незручність цього методу Полягає в тому, что велика Кількість штрихових ліній, Які доводитися Проводити в процессе розвязання задачі, віклікає помітні Труднощі в чітанні креслень.
За помощью цього ж прикладу розглянемо другий тип завдань, тобто завдань у умові якіх обумовлюється (або мається на увазі), что переріз проведено.
Нехай в прікладі 12 сторона основи піраміди дорівнює, а бічне ребро дорівнює. Знайдемо площинах перерізу.
Для цього нам треба віясніті форму перерізу (вид чотірікутніка).
Так як за побудову І, то.- Середня лінія трикутника, тобто. Аналогічно, тому, і тоді чотірікутнік - паралелограм, причому,. Для знаходження площади паралелограма ціх даних, однак, не достаточно, того уточнімо форму паралелограма. Побудуємо - медіану трикутника. Ясно, что, точка - основа висота піраміди.
Так як і - Проекція відрізка на площинах, то (за теореми про трьох перпендикулярах).
Таким чином, і. Альо тоді. (Мі довели, что мімобіжні ребра правильної трікутної піраміди взаємно перпендікулярні).
Далі, так як и, то І, тобто паралелограм - прямокутник.
Таким чином отрімаємо:
.
Приклад 3.
У Основі піраміди лежить прямокутний трикутник. Ребро перпендикулярно площіні основи,. Через середину ребра перпендикулярно до ребра Проведемо січну площинах и Знайдемо площу отриманий перерізу.
Побудуємо зображення.
Нехай чотірікутнік з его діагоналямі и являється збережений даної піраміди (мал.).
) медіана трикутника,
) точка - середина ребра,
),
) - медіана трикутника,
).
Для того щоб побудуваті, спочатку побудуємо. Зазначімо, что в прямокутній трикутнику и того. Тоді з трикутника, де, знаходімо, що. Таким чином, для того щоб відрізок Було збережений перпендикуляра до ребра, винна Виконувати Рівність:
, або, звідсі знаходімо, что, тобто.
Далі ми продовжімо побудову в такій послідовності:
) точка така, что,
),
),
).
Доведемо, что площинах чотірікутніка перпендикулярна ребру. Дійсно,, тобто. Крім того, за побудову. Тоді і. Далі І, тобто. Таким чином, переріз задовільняє умів залачі І, тому, являється шуканім.
Зрозуміло, що так як січна площинах перпендикулярна даній прямій и проходити через Дану точку, яка Належить поверхні піраміди, определена цімі умів, існує и при тому только одна.
побудова зображення закінчено, и можна перейти до подалі етапів розвязання.
Дано:
- піраміда, - вершина,,,, - переріз піраміди,.
зн...
