тановку над поверхнею грунту (температура повітря, сонячне випромінювання, швидкість вітру та ін.)
Тепловий потік через поверхню грунту можна виразити за допомогою рівняння теплового балансу [7]:
, (3.4)
де - сонячна радіація,
- результуючий потік теплового випромінювання,
- тепловий потік конвекції,
- витрати тепла на випаровування.
3.1 Математична модель
Дан масив з наступними теплофізичними характеристиками:? 1, c 1 і? 1, теплоємність і щільність можна замінити на коефіцієнт температуропровідності (1), виходячи з формули [1]:
(3.5)
У масиві мається неоднорідність, обмежена кордоном? ? з іншими теплофізичними характеристиками:? 2, c 2 і? 2 або? 2 і 2, схема представлена ??на малюнку 3.1. З одного боку масив взаємодіє з повітрям, температура якого не змінюється в часі, на противоположенную бік масиву діють сонячна радіація, потоки повітря (вітер), для всіх інших поверхонь масиву тепловий потік приймається рівним нулю.
Малюнок 3.1 - Схема масиву з неоднорідністю
Диференціальне рівняння теплопровідності встановлює зв'язок між тимчасовими і просторовими змінами температури тіла, воно математично описує перенос тепла всередині тіла. Для того щоб знайти температурне поле всередині тіла в будь-який момент часу необхідно вирішити рівняння теплопровідності з початковими і граничними умовами.
1. Рівняння теплопровідності:
(3.6)
2. Початкова умова визначає закон розподілу тепла в початковий момент часу:
(3.7)
3. Граничні умови.
Гранична умова третього роду полягає в завданні температури навколишнього середовища і закону теплообміну між поверхнею тіла і навколишнім середовищем. Приймаємо тепловий потік, обумовлений випаровуванням рівним нулю.
, (3.8)
де - температура в точці в момент часу;
- коефіцієнт температуропровідності в точці,
- початкова температура масиву,
- рівень сонячної радіації в момент часу,
- коефіцієнт теплообміну конвекцією для повітря з боку поверхні масиву для в момент часу,
- вологість повітря в момент часу,
- відносний коефіцієнт випромінювання,
- константа,,
- постійна Стефана-Больцмана,
- температура повітря з боку поверхні масиву для в момент часу,
Рівняння (3.8) описує закон взаємодії поверхні масиву з навколишнім середовищем, де умови нестаціонарні (вплив температури повітря, сонячного випромінювання, вітру).
(3.9)
(3.10)
Рівняння (3.9) і (3.10) описують нульовий потік тепла через решту п'ять поверхонь.
Гранична умова четвертого роду відповідає теплообміну дотичних тіл:
(3.11)
де - нормаль.
(3.12)
Рівняння (3.11) і (3.12) описують закон теплообміну в місці зіткнення масиву з неоднорідністю, тобто на кордоні .
. 2 Опис чисельного методу
Аналітичне рішення рівнянь (3.6) - (3.12) представляється украй скрутним, тому пропонується удатися до чисельного методу (звичайно-разностному (сіткового) методу). Застосування чисельних методів пов'язано з необхідністю проведення послідовних обчислень.
Метод кінцевих різниць заснований на заміні похідних їх наближеним значенням, вираженим через різниці значень функції в окремих дискретних точках - вузлах сітки. Диференціальне рівняння в результаті таких перетворень замінюється еквівалентним співвідношенням в кінцевих різницях, рішення якого зводиться до виконання нескладних алгебраїчних операцій.
Метод чисельного інтегрування базується на можливості апроксимації неперервного поля функції дискретним, тобто на можливості дискретизації простору і часу. Для отримання розрахункової формули необхідно замінити диференціальне рівняння теплопровідності відповідним рівнянням в кінцевих різницях.
Для вирішення поставленого завдання покриємо масив тривимірної сіткою з кроками,, по осях,, відповідно. Вони вибираються з суб'єктивних міркувань, керуючись розміром ма...
