зв'язних відображень. Для цього достатньо взяти зв'язкові і незв'язні простору і відображення їх у одноточкові множини. p>
Приклад. Розглянемо відображення f : [-1; 1] В®
R , для якого f ( х ) = 0 при будь-якому х ГЋ [-1; 1]. Відображення f зв'язно тоді і тільки тоді, коли шар f -1 ( y ) над точкою y = 0 зв'язний. Але f -1 (0) = [-1; 1] - зв'язне безліч. Причому, поняття трубки і шару над точкою y = 0 збігаються, тому відображення f є зв'язковим і пошарово зв'язковим.
Якщо відображення f : [-1; 1] [2; 3] В® R задано умовою f ( х ) = 0 для будь-якого х ГЋ [-1; 1] [2; 3], то воно недоладно (пошарово недоладно) над точкою y = 0 чинності незв'язності трубки (шару) f -1 (0) = [-1; 1] [2; 3].
У розглянутих прикладах простір Y є зв'язковим. Це умова і умова зв'язності відображення f виявилися необхідною і достатньою умовою для зв'язності простору Х . Більш того, має місце
Теорема 2.4. Нехай сюр'єктивно відображення f : X в†’ Y безперервно і зв'язно. Простір X є зв'язковим тоді і тільки тоді, коли простір Y зв'язне.
Доказ. Необхідність. За теоремою 1.5 (В§ 1), якщо f : Х в†’ Y безперервне відображення, f ( X ) = Y і Х зв'язно, то Y зв'язно.
Достатність. Нехай простір Y зв'язно. Припустимо, що простір Х недоладно. Тоді в Х знайдуться такі непусті діз'юнктние відкриті множини Про 1 і Про 2 , що Про 1 Про 2 = Х . Припустимо, що знайдеться точка y ГЋ. Тоді в будь-який околиці шару f -1 ( y ) міститися як точки безлічі Про 1 , так і точки безлічі Про 2 . З іншого боку, f -1 ( y ) ГЊ f -1 ( U ), де трубка f -1 ( U ) є зв'язковим безліччю (в силу зв'язності відображення f над точкою y ) та має міститися або в Про 1 , або в Про 2 (по теоремі 1.4). Отримали протиріччя. Отже,
= Г†,
тобто і - непорожні діз'юнктние замкнуті множини. Але f ( Про 1 ) f ( Про 2 ) = Y , значить,
= f ( Про 1 ) іВ = F ( Про 2 ),
тобто ці множини відкрито-замкнені. Це суперечить зв'язності простору Y.
Таким чином, припущення про незв'язності т...
