гочленом. p align="justify"> Але не тільки квадрат антісімметріческого многочлена симетричний. Якщо ми перемножимо два довільних антісімметріческіх многочлена, то отримаємо в творі симметрический многочлен. Адже при перестановці будь-яких двох змінних обидва множники міняють знаки, а тому твір залишається незмінним. p align="justify"> Нарешті,
при множенні симметрического многочлена на антісімметріческій виходить антісімметріческій многочлен.
У цьому випадку при перестановці двох змінних один множник змінює знак, а другий не змінює.
Основна теорема про антісімметріческіх многочленів
З'ясуємо тепер, як влаштований довільний антісімметріческій многочлен. Останнє зауваження попереднього пункту вказує спосіб, за допомогою якого можна побудувати скільки завгодно антісімметріческіх многочленів. Досить взяти якийсь один такий многочлен і помножити його на всілякі симметрические многочлени; в творі ми будемо отримувати антісімметріческіе многочлени. p align="justify"> Виникає природне запитання: чи можна знайти такий антісімметріческій многочлен, що, помножуючи його на всілякі симметрические многочлени, ми отримаємо всі антісімметріческіе многочлени від трьох змінних. Ми побачимо, що відповідь на це питання ствердна. p align="justify"> Покажемо, що в цьому випадку шуканим антісімметріческім многочленом є многочлен (xy) (xz) (yz). Іншими словами вірна наступна
Будь антісімметріческій многочлен? (x, y, z) від трьох змінних x, y, z має вигляд
? (x, y, z) = (x-y) (x-z) (y-z) g (x, y, z), (6)
де, g (x, y, z) - симметрический многочлен від x, y, z.
Перш ніж доводити цю теорему, ми встановимо наступну лему.
Якщо? (x, y, z) - антісімметріческій многочлен, то
? (x, x, z) =? (x, y, x) =? (x, y, y) = 0
тобто якщо які-небудь два змінних співпадають, то антісімметріческій многочлен звертається в нуль.
Тоді, в силу теореми Безу, симметрический многочлен від трьох змінних ділиться без залишку на вираження xy, xz, yz. Але тоді він повинен ділитися і на добуток цих виразів, тобто на антісімметріческій многочлен
Т = (x-y) (x-z) (y-z).
Таким чином, кожен антісімметріческій многочлен? (x, x, z) можна записати у вигляді? (x, y, z) = (xy) (xz) (yz) g (x, y, z), де g (x, y, z) - деякий многочлен.
Щоб закінчити тепер доказ теореми, нам залишилося показати, що многочлен g (x, y, z) симетричний. Для цього поміняємо в співвідношенні (6) місцями x і y:
? (y, x, z) = (y-x) (x-z) (y-z) g (y, x, z).
Така заміна допустима, оскільки співвідношення (6) є тотожністю, тобто справедливо при будь-яких значеннях змінних x, y, z. Оскільки за умовою? (X, y, z) = -? (Y, x, z) і так як (xy) (xz) (yz) = - (yx) (yz) (xz), то звідси випливає, що
? (x, y, z) = (x-y) (x-z) (y-z) g (y, x, z).
Порівнююч...
