Введення
В курсі математичного аналізу ми вивчали тригонометричні ряди Фур'є. Далі, в курсі функціонального аналізу, ряди Фур'є вивчаються в розділі «Гільбертові простору».
Розглядаємо простір (простір функцій відповідають умові, вагова функція,.)
Так як часткові суми рядів Фур'є дають наименьше відхилення від досліджуваної функції, то такий метод наближення функцій отримав найбільш сильний розвиток.
У цьому просторі визначається ортонормированного система, за якою для досліджуваної функції будується ряд Фур'є.
У даній роботі розглядаються поліноми Лежандра і Лагера, як приклади ортогональних систем в просторі.
Актуальність. У рамках традиційних курсів математичного та функціонального аналізу, ряди Фур'є по ортогональних системам вивчаються недостатньо докладно. Це можна пояснити трудомісткістю отримання виразів для коефіцієнтів Фур'є. Зараз застосовуючи вбудовані функції в поширених математичних пакетах (Mathcad, Maple і т.д.), можна одержувати лише чисельні (наближені) значення коефіцієнтів Фур'є, графіки приватних сум Фур'є. Що є не достатньою для отримання аналітичних виразів.
Мета роботи.
Реалізувати в пакеті Mathcad альтернативні можливості для отримання ортогональних систем, за допомогою яких можна отримувати аналітичні вирази;
Застосовуючи отримані вирази для Mathcad, більш докладно вивчити ортогональні системи (перевірити відомі результати, і по можливості, отримати нові або, не надто поширені властивості ортогональних многочленів).
Дипломна робота складається з вступу, трьох розділів, висновків та списку літератури.
У першому розділі наводяться необхідні теоретичні відомості.
У другому розділі вводиться документ Mathcad який реалізує явні вирази для ортогональних систем Лежандра і Лагера. Так само в цій главі показано застосування отриманих результатів для розкладання функцій в ряди Фур'є.
У третьому розділі наведено доказ однієї властивості многочленів Лежандра.
ортогональний многочлен mathcad Лежандр
Глава 1.Ортонормірованние системи і ряди Фур'є
1.1 Гільбертові простору
Гільбертів простір [n] - лінійне (векторне) простір (над полем дійсних або комплексних чисел), в якому для будь-яких двох елементів простору і визначений скалярний твір і повне (щодо породженої скалярним твором метрики). Якщо умова повноти простору не виконана, то говорять про предгільбертовом просторі. Однак, більшість з відомих (використовуваних) просторів або є повними, або можуть бути поповнені.
Таким чином, гильбертово простір є Банахів простір (повне нормоване простір), норма якого породжена позитивно певним скалярним твором і визначається як
.
В гільбертовому просторі, важливе значення має нерівність Коші-Буняковського:. Отже,.
Це дозволяє інтерпретувати дане відношення як косинус кута між елементами і, зокрема, ввести поняття ортогональних елементів: два елементи гильбертова простору ортогональні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Підмножина елементів називається ортонормованій системою, якщо будь-які два елементи б...
