>
Для амплітудно-модульованих сигналів з однією несучою частотою ці результати досить очевидні (див. ріс.1.5.1). Але виразу (1.5.2-1.5.4), отримані із загальних міркувань, залишаються дійсними і для будь-яких довільних сигналів. br/>В
Рис. 1.5.2
На ріс.1.5.2. представлений сигнал, складений двома гармоніками:
x (t) = a (t) Г— cos ( w 1 t) + b (t) Г— cos ( w 2 t).
Сполучений і аналітичний сигнали:
(t) = a (t) Г— sin ( w 1 t) + b (t) Г— sin ( w 1 t).
z (t) = x (t) + j Г— (t).
Що огинає такого сигналу, як це можна бачити на малюнку 1.5.2, повинна обчислюватися за формулою (1.5.2). Для даного сигналу:
(t) =
Миттєва фаза сигналу, графік якої наведено на ріс.1.5.3, залежить від часу нелінійно:
В
Рис. 2.5.3
В
Рис. 2.5.4
(t) =
Миттєва частота сигналу (ріс.1.5.4) також має нелінійну залежність від часу, причому її значення можуть суттєво перевищувати навіть сумарне значення частот, складових сигнал:
(t) =
Аналогічна методика визначення огинають і миттєвих значень фази і частоти застосовується і для аналізу випадкових процесів. Зображення полів параметрів перетворення Гільберта застосовуються при інтерпретації геофізичних даних. p align="justify"> Аналіз каузальних систем
Каузальна (фізично здійсненна) лінійна система (так само як і довільна причинно обумовлена ​​функція) задається одностороннім імпульсним відгуком (виразом) h (t), t Ві 0, і має частотну характеристику H (f):
H (f) = X (f) - jY (f), (1.5.5)
де X (f) і Y (f) - дійсна (парний) і уявна (непарна) частини частотної характеристики. Здійснимо зворотне перетворення Фур'є для всіх частин висловлювання роздільно:
h (t) = x (t) + y (t),
x (t) = X (f) cos (2ft) df, (1.5.6) (t) = Y (f) sin (2ft) df, (1.5.7)
де x (t) і y (t) - парна і непарна частини функції h (t). Умова каузальності для функції h (t), h (t) = 0 при t <0, буде виконано, якщо при t <0 функції x (t) і y (t) компенсують один одного. Загальна умова каузальності, з урахуванням непарності функції y (t) і y (0) = 0, запишеться у вигляді:
y (t) = x (t) = h (t)/2, t> 0. (1.5.8) (t) = 0, x (t) = h (0), t = 0, (t) =-h (t)/2, x (t) = h (t)/2, t <0,
З цих умов випливає, що непарна функція y (t) у каузальною системі однозначно пов'язана з парною функцією x (t):
y (t) = sgn (t) Г— x (t). (1.5.9)
З урахуванням виразів (1.5.6-7) відповідна зв'язок між дійсною і уявною частинами спектру каузальних функцій:
X (f) cos (2ft) df = Y (f) sin (2ft) df, (1.5 .10)
Здійснюючи зворотне перетворення Фур'є обох частин рівності (1.5.9) при відомому перетворенні сигнатурної функції (sgn (t) Г› -j/(f)), отримуємо:
TF [y (t)] = (-j/f) * X (f) = (- j /) [X (u)/(fu)] du.
Звідси:
Y (f) = (1 /) [X (u)/(fu)] du = H [X (f)], (1.5.11)
тобто уявна частина спектру імпульсного відгуку каузальної системи (і будь каузальною функції) є перетворенням Гільберта дійсної частини спектру. Відповідно, рівняння для визначення дійсної ко...
