чаються випадковими величинами (з певними імовірнісними властивостями).
Статистичні методи побудови залежностей можна розділити на кілька груп. Перш за все, виділяються методи, які засновані на оптимізації оцінок по відношенню до деякого статистичному критерію. Такі, наприклад, оцінки максимальної правдоподібності. Для їх знаходження необхідна значна статистична інформація така, як вид функцій розподілу похибок вимірювань у всіх точках і деякі співвідношення між параметрами. Ця інформація часто буває недоступна, а отримані оцінки іноді виявляються досить складними, незручними на практиці.
Іншу групу утворюють методи, засновані на певній обчислювальної схемою. Часто вони виходять з методів першої групи або шляхом поширення їх на більш широкий клас випадків (відкидаючи обмеження, при яких вони є оптимальними), або шляхом обчислювальних спрощень. Зазвичай для методів другої групи потрібно порівняно невелика інформація про розподіли похибок; найчастіше - лише перші і другі моменти. Проте загальні імовірнісні припущення щодо похибок вимірювань дозволяють оцінювати точність побудованих залежностей, використовуючи статистичні методи.
Найбільш відомий метод другої групи - МНК. Він є оптимальним (випливає з методу максимальної правдоподібності) лише за дуже обмежених умовах. Однак на практиці метод широко застосовується і при порушенні цих умов, як зручний для обчислень. Слід враховувати, що в останньому випадку похибки побудови залежностей значно збільшуються. Тому часто доцільніше використовувати або методи конфлюентних аналізу, або робасні (стійкі) методи побудови залежностей. Багато хто з них близькі до МНК, але враховують відхилення реальних умов застосування від тих суворих теоретичних припущень, при яких він оптимальний.
Крім статистичних методів, в прикладній математиці є різні числові і графічні методи апроксимації експериментальних даних. Вони зазвичай дають результати, близькі до одержуваних статистичними методами; проте останні дозволяють вирішувати більш широке коло завдань і більш обгрунтовано оцінювати похибки отриманих ГХ та їх параметрів.
При виборі методу побудови ГХ необхідно також враховувати те, що для застосування більш точних і складних методів апроксимації зазвичай потрібно досить хороше початкове наближення. Тому часто буває доцільно послідовно використовувати декілька методів: спочатку знайти перше наближення, використовуючи один з простих методів, а потім, застосовуючи більш точний (і більш складний) метод, уточнити ГХ [13].
3.2 Метод найменших квадратів
. 2.1 Умови застосування методу регресійного аналізу
Найбільш поширеним способом обробки експериментальних даних є так званий метод регресійного аналізу, зокрема такий його варіант, який включає:
використання методу найменших квадратів;
відображення невідомої функції істинного відгуку? (х) «захованої» в таблиці експериментальних даних, алгебраїчним статечним поліномом? (х, b).
Метод регресійного аналізу застосуємо при дотриманні наступних умов:
а) масив значень відгуків об'єкта дослідження для кожного рядка експериментальних даних має нормальний розподіл з математичним очікуванням M {yg} =? (х) і дисперсією? 2 вос;
б) дисперсії? 2 вос для всіх рядків рівні. Оскільки дисперсія спостереження характеризує точність, з якою ми отримуємо спостереження, остільки досліди при різних рядках равноточние, тобто експеримент відтворюється при різних спостереженнях з однаковою точністю;
в) результати спостереження відгуку уg і їхні помилки? g в різних дослідах незалежні;
г) незалежні від відгуку фактори впливу на об'єкт х та похідні від них базисні функції f (х) визначаються в експерименті без помилок у силу двох факторів:
у разі наявності таких помилок вони «стікають» на відгук об'єкта, збільшуючи розсіювання хмари експериментальних точок;
вплив цих помилок на розсіювання хмари точок зневажливо мало в порівнянні з впливом шуму;
д) вектори факторів впливу на об'єкт х і вектори похідних від них базисних функцій f (х) лінейнозавісіми, тобто жоден вектор не можна отримати як лінійну комбінацію інших. В іншому випадку визначники похідних від них матриць будуть дорівнюють нулю і матричні розрахунки стануть неможливі;
е) математична модель відгуку об'єкта дослідження? (х,?) адекватна функції? (х) і, таким чином,? (х,?) =? (х) [14].
Сформована таким чином завдання носить назву завдання регресії, експеримент називається регресійним, рівняння (поліноми) - рівняннями (поліномами) регресії, а сам метод рішення нази...
