вається регресійним аналізом. Цей термін відображає той факт, що зі збільшенням ступеня полінома, тобто зі збільшенням кількості його членів, у загальному випадку помилка рівняння зменшується - «регресує».
3.2.2 Поліном регресії і система умовних рівнянь
Метод регресійного аналізу використовує опис об'єкта дослідження у вигляді деякого полінома - відрізка ряду Тейлора, в який розкладається невідоме рівняння зв'язку відгуку об'єкта у і вхідних факторів х. При цьому рекомендується така форма полінома, яка містить всі можливі поєднання чинників в першого ступеня (одиничні, парні, потрійні і т.д.), а при ступені більше одиниці - тільки їх індивідуальні комбінації [15]. Тоді поліном має вигляд:
(3.1)
де?- Коефіцієнти, що є похідними вигляду? ?/? Xi.
Оскільки по числу факторів математична модель об'єкта не може бути вичерпною і зазвичай є неповною, вплив неврахованих факторів робить відгук об'єкта уg випадковою величиною. Тому залежність? (Х) не дає точного зв'язку між уg і факторами, включеними в математичну модель, і за результатами експерименту знаходиться не рівняння (3.1), а рівняння:
(3.2)
де bij - вибіркові емпіричні коефіцієнти регресії.
Останні є лише оцінками для теоретичних коефіцієнтів?, а відгук об'єкта yg - оцінкою для математичного очікування M {yg}.
Практика обробки експериментальнихих даних показала, що результати експерименту у вигляді табличній функції в більшості випадків з достатнім наближенням відображаються повним кубічним поліномом за формою рівняння (3.2). Часто третій ступінь полінома не тільки достатня, але й надлишкова, тобто кількість членів полінома можна і зменшити без істотної втрати точності. Тому при побудові та виборі аппроксимирующего рівняння будують систему альтернативних рівнянь з повного кубічного полінома і його окремих статечних шматків. Порівнюючи характеристики цих рівнянь, вибирають найбільш прийнятне.
Конкретний вид полінома регресії для даної таблиці даних зазвичай невідомий, як і об'єктивна функція, яка закодована даною таблицею. Тому процедура регресійного аналізу починається з висунення гіпотези про конкретний вид рівняння, яким ми маємо намір відобразити експериментальну табличну залежність. Вид рівняння регресії задається або на основі якихось математичних, фізичних або професійних міркувань, або, при відсутності останніх, - у порядку альтернативи -знаходження для даної таблиці декількох варіантів рівнянь і порівняння їх по точності відтворення табличного значення відгуку yg.
Таблиця експериментальних даних і прийнята у вигляді гіпотези форма рівняння регресії є основними відправними умовами завдання і визначають подальший хід її вирішення.
Процедура обробки експериментальних даних починається з суміщення прийнятої форми рівняння з таблицею, для чого в рівняння підставляють значення факторів хgk відповідно з рядками таблиці даних, де g - номер рядка таблиці, а k - номер вектора х. Це дає систему рівнянь відповідно кількості рядків у таблиці експериментальних даних.
Однак, як зазначалося раніше, при впливі на об'єкт дослідження факторами х, наявність і значення яких визначається самим експериментатором, значення відгуку уg формується за рахунок факторів х, так і за рахунок неврахованих факторів (шуму).
Уявімо собі, що ми багаторазово повторюємо спостереження, задаючи значення факторів x1g, x2g,... xкg для однієї і тієї ж g-го рядка таблиці експериментальних даних. Значення відгуків при цьому в силу наявності шуму в цілому буде різними, тобто значення випадкової помилки спостереження при повторних дослідах буде змінюватися. Розподіл таких помилок має важливою особливістю - помилки, протилежні за знаком і близькі за абсолютною величиною, в середньому зустрічаються однаково часто, тобто розподіл випадкових помилок симетрично відносно нуля.
Звідси випливає, що якщо всі допустимі значення yg по цьому рядку є генеральна сукупність, то істинний результат спостереження є математичне сподівання випадкової величини yg по цьому рядку. Третя передумова регресійного аналізу свідчить, що спостережуване значення відгуку yg є нормально розподілена випадкова величина з центром:
M {yg} =? (xg), (3.3)
де M {yg} - математичне очікування випадкової величини yg.
Таким чином, рівняння регресії, яке отримано в результаті обробки експериментальних даних, тобто залежність оцінки математичного сподівання відгуку від факторів х.
У зв'язку з випадковим характером відгуку уg ліва і права частина системи рівнянь нерівні, система...
