вність ми переобозначив змінну інтегрування, що, звичайно, неістотно при обчисленні інтеграла. Оскільки площа прямокутника дорівнює сумі площ S 1 і S 2 , то В
Може виявитися, що f (a) не дорівнює заданому числу b, тобто f (a)> b або f (a)
У кожному з цих випадків площа прямокутника менше суми площ криволінійних трапецій, рівній S 1 + S 2 .
Об'єднуючи ці три випадки, отримуємо наступний результат.
Нехай f і f -1 - дві безперервні зростаючі взаємно зворотні функції, які звертаються в нуль на початку координат. Тоді для a> 0, b> 0 має місце нерівність
(2.13)
Рівність має місце тоді і тільки тоді, коли b = f (a). Це нерівність називають нерівністю Юнга. Воно є джерелом отримання інших важливих нерівностей.
Приклад 2.10. Функція f, де f (x) = x, задовольняє умовами, при яких справедливо співвідношення (1). Далі., F -1 (x) = x. Тому
(2.14)
Приклад 2.11. Функція f, де f (x) = x a , a> 0, неперервна, зростає при x> 0, f (0) = 0. Зворотною для неї є функція f -1 , де f -1 (x) = x 1/a . З нерівності (2.13) маємо
. Позначивши, одержимо
(2.15)
З нерівності (2.15) може бути отримано відоме нерівність Гельдера:
В
де
З нерівності (2.15) може бути виведено і так зване інтегральне нерівність Гельдера:
В
де.
Вважаючи r = 2, отримаємо відоме нерівності Коші-Буняковського:
В В
Задача 2.21. Довести, що для довільного виконується
В
Рішення.
Нерівність достатньо довести прі. Поклавши в нерівності, маємо
В
Так як,, то отримуємо, або.
ПЕРЕЛІК Використаних джерел
1. Алгебра і початки аналізу для 9-10 класів/Під ред. О.М. Колмогорова. - М.: Просвещение, 1986. - 336с. br/>
2. Бродський Я.С., Сліпенко А.К. Похідна та інтеграл у нерівностях, рівняннях, тождествах. - К., Вища школа, 1988. - 120с. br/>
3. Дороговцев А.Я. Інтеграл ТА ЙОГО! застосування. - К.: Вища школа. 1974. - 125с. br/>
4. Дорофєєв Г.М. Застосування похідних при вирішенні завдань в шкільному курсі математики// Математика в школі. - 1980. - № 5 - с. 12-21, № 6 - с. 24-30. br/>
5. Рижов Ю.М. Похідна та ее! застосування. - К. Вища школа, 1977. - 83с. br/>
6. Ушаков Р.П., Хацет Б.І. Опуклі Функції та нерівності. - К. Вища школа, 1986. - 112с. br/>
7. Шунда Н.М., Томусяк А.А. Практикум з математичного аналізу: Вступ до аналізу. Діференціальне числення. Навч. посібник. - К., Вища школа, 1993. - 375С.
