f, опуклою на відрізку [a, b] лежить вище будь дотичній до цього графіку, зокрема дотичній, проведеної через точку кривої з абсцисою.
Якщо дотична перетинає вісь абсцис поза відрізка [a, b], то вона відсікає від криволінійної трапеції прямокутну трапецію, а не трикутник. Площа прямокутної трапеції дорівнює добутку її середньої лініїВ на висоту. Тому
(2.11)
аналогічно, якщо функція f увігнута, то
(2.12)
Співвідношення залишається справедливим якщо дотична до графіка перетинає вісь абсцис в точках a і b.
Завдання 2.9. Довести, що якщо 0 Рішення.
являє собою площу криволінійної трапеції, обмеженою лініями, тобто . Дотична до кривої в точці відсікає від криволінійної трапеції прямокутну трапецію, висота якої, а середня лінія. Площа цієї трапеції дорівнює. Відповідно до нерівності (2.6),. p> Переконаємося, що вказана дотична відсікає саме трапецію, а не трикутник. Для цього досить перевірити що точка її перетину з віссю абсцис лежить поза відрізка [a, b]. Рівняння дотичної до кривої в точці має вигляд. У даному випадку, тобто є рівняння дотичній. Поклавши в ньому, знайдемо абсциссу точки перетину дотичної з віссю:, год т.д.
З співвідношень (2.9) - (2.12) можна отримати нові нерівності. Нерівності (2.9) і (2.11) спільно дають оцінку знизу і зверху для інтеграла від безперервної, позитивної і опуклої функції. Аналогічні оцінки отримуємо для інтегралів від ввігнутих функцій з нерівностей (2.10) і (2.12). Повернемося до задачі 2.9. Її вдалося вирішити, застосувавши нерівність (3) до функції на відрізку [a, b]. Крім того, в силу нерівності (2.9)
, тобто . p> Об'єднуючи цей результат з нерівністю, доведеним в задачі 2.9, отримаємо подвійну нерівність
В
2.4. Деякі класичні нерівності та їх застосування
Наведемо висновок деяких чудових нерівностей з допомогою інтегрального числення. Ці нерівності широко використовуються в математиці, в тому числі і при вирішенні елементарних завдань. p> Нехай y = f (x) - безперервна зростаюча при x> 0 функція. Крім того, f (0) = 0, f (a) = b, де a, b деякі позитивні дійсні числа. Зі шкільного курсу математики відомо, що якщо функція f зростає й безупинна на деякому проміжку, то існує функція f -1 , зворотна функції f. Її область визначення збігаються з безліччю значень f. функція f -1 неперервна і зростає в області свого визначення.
Звідси випливає, що для даної функції f існує безперервна зростаюче зворотна функція f -1 така, що f -1 (0) = 0, f -1 (b) = a. Графіки залежностей y = f (x) і x = f -1 (y) збігаються. p> Площа S 1 криволінійної трапеції, обмеженою лініями y = f (x), y = 0, x = 0, x = a, дорівнює.
Площа S 2 криволінійної трапеції, обмеженою лініями x = f -1 (y), x = 0, y = 0, y = b, дорівнює
В останньому рі...
