и це співвідношення з рівністю (6), знаходимо, що
(xy) (xz) (yz) g (x, y, z) = (xy) (xz) (yz) g (y, x, z),
і тому при xy справедливо рівність g (x, y, z) = g (y, x, z). При x = y останнє рівність приймає вигляд g (x, x, z) = g (x, x, z) і також, очевидно, справедливо. Отже, за будь-яких x, y, z має місце рівність g (x, y, z) = g (y, x, z), тобто g (x, y, z) - симметрический многочлен. Теорема доведена. p> Отже, для антісімметріческіх многочленів від трьох змінних має місце наступне твердження.
Будь антісімметріческій многочлен? (x, y, z) від трьох змінних x, y, z є твором многочлена
Т = (x-y) (x-z) (y-z)
на деякий симметрический многочлен g (x, y, z) від трьох змінних
x, y, z? (x, y, z) = (xy) (xz) (yz) g (x, y, z) = Т В· g (x, y, z).
Дискримінант і його застосування до дослідження коренів рівняння.
Ми бачили, що в теорії антісімметріческіх многочленів важливу роль відіграють найпростіші антісімметріческіе многочлени, а саме, многочлен Т = (xy) (xz) (yz) для трьох змінних. Квадрат найпростішого антісімметріческого многочлена називають дискриминантом. Таким чином він дорівнює
= (x-y) 2 (x-z) 2 (y-z) 2,
(7)
Для порівняння наведемо інший висновок формули (7) за допомогою методу приватних значень. Дискримінант (x, y, z) є однорідним многочленом шостого ступеня. Тому в його вираз через,, можуть входити (з деякими коефіцієнтами) лише такі одночлени, для яких m +2 n +3 p = 6 (так як - многочлен першого ступеня, - другий і - третьої). Рівняння m +2 n +3 p = 6 має в цілих невід'ємних числах сім рішень, зазначених в таблиці 4. br/>
Таблиця 4
mnpmnpmnp6 40 10 03 2 10 2 11 0 10 03 00 2
Іншими словами, вираз дискриминанта (x, y, z) через,, має вигляд
(x, y, z) =, ()
де A, B, C, D, F, G - деякі коефіцієнти. Оскільки співвідношення () являє собою тотожність, то ми можемо підставляти в це співвідношення будь-які значення x, y, z. p> Покладемо x = 1, y = z = 0; в цьому випадку, і (1, 0, 0) == (1-0) 2 (0-0) 2 (0-1) 2 = 0. Тому рівність () приймає вигляд 0 = А. Отже, коефіцієнт А знайдений. p> Тепер покладемо x = 0, y = 1, z = -1; в цьому випадку,,, = 4, і співвідношення () приймає вигляд 4 = F В· (-1) 3, тобто F = -4.
При x = 2, y = z = -1 (тобто,,) отримуємо зі співвідношення (): (-4) В· (-3) 3 +4 G = 0, звідки знаходимо G = -27.
Потім ми покладемо x = 0, y = z = 1 (тобто,,) і, крім того, x = 0, y = 1, z = 2 (тобто,,). Це дасть нам (враховуючи, що А = 0, F = -4) такі два співвідношення:
В
Розглядаючи ці співвідношення як систему рівнянь щодо невідомих B і D, легко знаходимо: В = 0, D = 1.
Нарешті, додамо величинам x, y, z ще дві системи значень: x = y = z = 1 і x = y = 1, z = -1. Ми отримаємо тоді (враховуючи, що коефіцієнти A, B, D, F, G нам вже відомі) такі с...
