раїчного багаточлена (табл.1). br/>
Таблиця 1 Непріводімие многочлени та їх еквіваленти
У таблиці 1 вказані всі многочлени до п'ятого ступеня включно, використовувані для побудови циклічних кодів. Многочлени більш високих ступенів наводяться лише вибірково.
Многочлен в полі двійкових чисел називається непріводімим, якщо він ділиться без залишку на себе або на одиницю; що стосується многочленів наведених у табл. 1, то це визначення справедливе тільки для кінцевого поля двійкових чисел. p align="justify"> В основу циклічного кодування покладено використання неприводимого многочлена P (X), який стосовно циклічним кодами називається утворюючим, генераторним або провадить многочленом (поліномом).
В якості інформаційних символів k для побудови циклічних кодів беруть комбінації двійкового коду на всі поєднання. У загальному випадку, якщо задану кодову комбінацію Q (X) помножити на який утворює многочлен P (X), вийде циклічний код, що володіє тими чи іншими коригуючими властивостями в залежності від вибору P (X). Однак у цьому коді контрольні символи m будуть розташовуватися в найрізноманітніших місцях кодової комбінації. Такий код не є систематичним, що ускладнює його схемну реалізацію. Ситуацію можна значно спростити, якщо контрольні символи приписати наприкінці коду, тобто після інформаційних символів. Для цієї мети доцільно скористатися наступним методом. p align="justify"> 1) Множимо кодову комбінацію G (X), яку ми хочемо закодувати на Одночлен , має ту ж ступінь, що і утворить многочлен P (X).
2) Ділимо твір на який утворює многочлен P ( ) :
[11]
де Q (X) - частка від ділення; R (X) - залишок.
Примножуючи вираз (10) на P (X) і переносячи R (X) в іншу частину нерівності, згідно алгебри двійкового поля, тобто без зміни знаку на зворотний отримуємо:
[12]
Таким чином, відповідно до нерівності (11), циклічний код, тобто закодоване повідомлення F (X) можна утворити двома способами:
1) множенням однієї з комбінацій двійкового коду на всі поєднання [комбінація Q (X) належить до тієї ж групи того ж коду, що і задана комбінація G (X) ] на який утворює многочлен P (X);
2) множенням заданої кодової комбінації G (X) на Одночлен , має ту ж ступінь, що і утворить многочлен P (X), з додаванням до цього твору залишку R (X), отриманого після ділення твори на який утворює многочлен P (X).
<...
