також у роботі Е. Бетті A852), вперше з'явилися зв'язкові викладу теорії Галуа. І тільки з 70-х років минулого століття ідеї Галуа почали отримувати подальший розвиток. p align="justify"> Поняття групи в теорії Галуа стає потужним і гнучким засобом. Коші, наприклад, теж вивчав підстановки, але він і не думав приписувати поняттю групи подібну роль. Для Коші, навіть у пізніх його роботах 1844-1846 рр.. В«Система сполучених підстановокВ» була нерозкладним поняттям, вельми жорстким; він користувався її властивостями, але ніколи не виявляв поняття підгрупи і нормальної підгрупи. Ця ідея відносності, власний винахід Галуа, пізніше проникла в усі математичні та фізичні теорії, що ведуть своє походження від теорії груп. Цю ідею в дії ми бачимо, наприклад, в В«Ерлангенском програміВ». (Про неї буде розказано пізніше)
Значення робіт Галуа полягає в тому, що в них повною мірою були розкриті нові глибинні математичні закономірності теорії рівнянь. Після освоєння відкриттів Галуа вигляд і мети самої алгебри істотно змінилися, зникла теорія рівнянь - з'явилася теорія полів, теорія груп, теорія Галуа. Рання смерть Галуа була невозместімую втратою для науки. На заповнення прогалин, розуміння і поліпшення робіт Галуа знадобилося ще кілька десятків років. Зусиллями Келі, Серрі, Жордана та інших відкриття Галуа були перетворені в теорію Галуа. У 1870 р. монографії Жордана В«Трактат про підстановках і алгебраїчних рівнянняхВ» представило цю теорію в систематичному викладі, зрозумілому для всіх. З цього моменту теорія Галуа стала елементом математичної освіти і фундаментом для нових математичних досліджень. br/>
3.5 Приклад застосування теорії Галуа
Нехай дано рівняння; воно неприводимого над полем Q і має 4 різних кореня
В
де. Поле розкладання цього рівняння виходить приєднанням до Q двох величин Позначимо його N = Q (r, i), інакше можна записати N = Q (r + ir). Всякий елемент поля N є лінійна комбінація наступних восьми елементів:
Елементи групи даного рівняння визначені, якщо відомі образи i і r; i може відображатися тільки в i або-i. Точно також r може відобразитися лише в елементи r,-r, ir,-ir. p> Об'єднуючи ці умови, отримуємо вісім елементів групи G (вісім автоморфізмів поля N). Покажемо, як вони визначені своїм дію на породжують елементи i, r. br/>В
Можна довести, що ці автоморфізм зберігають співвідношення i2 = -1, r4 = 3.
Група G містить підгрупу H = {I, S, S2, S3}, породжену S, яка містить меншу підгрупу L = {I, S2}, породжену S2.
Кожен автоморфізм групи H залишає i на місце, отже він залишає на місці кожен елемент подполя Q (i).
Менша група L має автоморфізм, які залишають на місці елементи більшого поля Q (i, r2).
Таким чином, спадною ланцюжку підгруп відповідає зростаюче ланцюжок підполів
Зростаюча ланцюжок підполів даного рівняння дає метод рішення за допомогою послідовного при...
