єднання коренів більш простих рівнянь x2 = -1; y2 = 3; z2 = 31/2.
3.6 Подальший розвиток оригінальної теорії Галуа
Розвиток ідей Галуа відбувалося в різних напрямках. В області класичної основи, найбільш близькою власним ідеям Галуа, нові завдання групувалися навколо проблеми класифікації алгебраїчних иррациональностей і встановлення їх арифметичної природи. Сюди, наприклад, відноситься теорема Кронекера - Вебера, що коріння абелевих рівнянь (тобто рівнянь з комутативної групою) з раціональними коефіцієнтами раціонально виражаються через коріння з одиниці. Подальші узагальнення цієї теореми призвели до загальної теорії полів класів, де мова йде про класифікацію всіх абелевих розширень даного поля алгебраїчних чисел. Останнє є кінцевим алгебраїчним розширенням поля раціональних чисел-. Сучасна теорія алгебраїчних чисел склалася як поєднання теорії цих чисел з теорією ідеалів і теорією Галуа. p> Постановка нових, більш загальних завдань сприяла швидкому ускладнення теорії Галуа і зростанню спільності її результатів. Серед цих завдань згадаємо, наприклад, проблему розвідки всіх рівнянь, які для заданої області раціональності володіють певною, наперед заданої групою. Проблеми такого роду призвели до вивчення полів загальних раціональних функцій (проблема Люрот-Штейніца). Узагальнення задачі про можливість розв'язання рівнянь в радикалах призвели до проблеми загального характеру про можливість зводити рівняння до ланцюжку допоміжних рівнянь з меншим числом параметрів. Перші загальні результати тут були отримані лише радянським математиком Н. Г. Чеботарьовим в його теорії резольвент. Інший радянський математик - І. Р. Шафаревич в 1954 р. вирішив так звану зворотну задачу теорії Галуа: для будь розв'язної групи будь-якого порядку, якщо розширюване поле К_0 алгебраїчних чисел містить корінь n-го ступеня з одиниці, завжди існує скільки завгодно його розширень К_0 , що мають над K будь-яку наперед задану розв'язні групу n-го порядку.
Сучасна теорія Галуа перетворилася на складну розгалужену математичну дисципліну, що включає в себе великий матеріал про зв'язки між властивостями рівнянь, алгебраїчних чисел і груп.
3.7 Інші передумови виникнення теорії груп
3.7.1 Досягнення Ферма і Ейлера
У Ейлера (і, може бути, у Ферма до нього) зустрічається операція В«множення за модулем рВ», яка (1758) використовувалася, щоб дати, по суті, теоретико-групове доказ малої теореми Ферма.
Нагадаємо, що цілі числа називаються конгруентними за модулем р, якщо вони відрізняються по цілому кратному р, що b - зворотна величина а щодо множення mod p, якщо ab конгруентно 1 по модулю р, тобто, якщо ab + кр = 1 для деякого цілого к. У разі простого p кожен ненульовий елемент має зворотний за модулем p. Тобто тут з'являється група.
Ейлер у своєму доказі не визначив групу, але нам легко це зроби...
