ьних операцій з цих коренів і елементів області раціональності, - яка при перестановках цієї групи зберігає свої числові значення, має раціональні (що належать області раціональності) значення, і назад: всяка функція приймаюча раціональні значення, при перестановках даної групи зберігає ці значення.
Розглянемо тепер приватний приклад, яким займався ще сам Галуа. Мова йде про те, щоб знайти умови, при яких неприводимого рівняння ступеня, де просте, вирішуване за допомогою двочленних рівнянь. Галуа виявляє, що умови ці полягають у можливості так упорядкувати корені рівняння, щоб згадана "група" перестановок задавалася формулами
В
де може бути одно будь-якого з чисел, а b дорівнює. Така група містить щонайбільше p (p - 1) перестановок. У разі коли?? = 1 є лише p перестановок, говорять про циклічної групі; в загальному випадку групи називаються метацікліческімі. Таким чином, необхідною і достатньою умовою розв'язання неприводимого рівняння простий ступеня в радикалах є вимога, щоб його група була метацікліческой - в окремому випадку, циклічної групою. p> Тепер вже можна позначити межі, поставлені сфері дії теорії Галуа. Вона дає нам якийсь загальний критерій розв'язності рівнянь з використанням резольвент, а також вказує шлях до їх розшуку. Але тут відразу ж постає низку подальших проблем: знайти всі рівняння мають при даній області раціональності певну, наперед задану групу перестановок; дослідити питання про те, зводяться чи один до одного два рівняння такого роду, і якщо так, то якими засобами і т. д. Все це разом складає величезну сукупність проблем, не вирішених ще й сьогодні. Теорія Галуа вказує нам на них, не даючи, однак, ніяких коштів для їх вирішення. p align="justify"> Апарат, введений Галуа для встановлення можливості розв'язання алгебраїчних рівнянь в радикалах, мав значення, що виходить за рамки зазначеної задачі. Його ідея вивчення структури алгебраїчних полів і зіставлення з ними структури груп кінцевого числа підстановок була плідною основою сучасної алгебри. Однак вона не відразу отримала визнання. p align="justify"> Перед фатальний дуеллю, що обірвала його життя, Галуа протягом однієї ночі сформулював свої найважливіші відкриття і переслав їх другу О. Шевальє для публікації у разі трагічного результату. Наведемо знамените місце з листа до О. Шевальє: В«Ти публічно попросиш Якобі або Гаусса дати їх висновок не про справедливість, але про важливість цих теорем. Після цього будуть, я сподіваюся, люди, які знайдуть свою вигоду в розшифровці всієї цієї плутанини В». При цьому Галуа має на увазі не тільки теорію рівнянь, в цьому ж листі їм сформульовані глибокі результати з теорії абелевих і модулярних функцій. p align="justify"> Цей лист був опублікований незабаром після смерті Галуа, однак ідеї, що містяться в ньому, не знайшли відгуку. Тільки через 14 років, в 1846 р., Ліувілль розібрав і опублікував всі математичні роботи Галуа. У середині XIX ст. у двотомній монографії Серрі, а ...
