опологічного простору Х невірно, а правда те, що потрібно довести. €
Інший зв'язку між зв'язністю просторів і зв'язністю відображень може і не бути.
Рис. 2. /Td>
Рис. 1. /Td>
В
Прімери. Нехай відображення f : X в†’ Y безперервно. Якщо простір Х зв'язно, то і його образ f ( X ) зв'язний, але відображення f не повинно бути зв'язковим. А саме, нехай f : R В® [0; + ВҐ], і f ( х ) = х 2 для будь-якого х ГЋ R (рис. 1). Расмотрим довільну точку y ГЋ (0; + ВҐ). Нехай околицею точки y є будь-який інтервал U = ( a ; b ) ГЌ (0; + ВҐ), що містить цю точку. Тоді трубка
f -1 ( U ) =
розпадається на два непорожніх непересічних відкритих в R безлічі, тобто f -1 ( U ) - недоладне безліч. Таким чином, відображення f недоладно за визначенням. p> Можна навести ще приклад такого роду. Нехай Oxy - прямокутна декартова система координат. Розглянемо кільце П‰ з центром на початку координат і радіусами r = a , R = b (рис. 2). Нехай pr X : П‰ в†’ [- b ; b ] - проекція цього кільця на вісь Ox , де для будь-якої точки ( x ; y ) ГЋ П‰ . Візьмемо довільну точку Для будь-який околиці U ГЊ (- a ; a ) точки х трубка є незв'язною, тому що складається з двох частин A і B (рис. 2). Таким чином, проекція pr X - є незв'язним відображенням.
Рис. 4. /Td>
Рис. 3. /Td>
В
Може бути й навпаки, відображення f зв'язне, а простору X і Y - незв'язні.
Нехай, наприклад, відображення f : R {0} В® R {0} задано формулою f ( х ) = для будь-якого х ГЋ R { 0} (рис. 3). Візьмемо довільну точку y ГЋ R {0}...
