. Для будь-який околиці Oy ГЊ
R {0} точки y знайдеться зв'язкова околиця U ГЌ (0; + ВҐ) (або U ГЌ (- ВҐ; 0)) , трубка f -1 ( U ) над якою связна (тому f -1 ( U ) містить частина галузі гіперболи або всю гілку, яка связна і навіть лінійно связна).
Нехай Х = [0; 1], Y = [0; 1] [ 2; 3]. Розглянемо проекцію: X ' Y В® Y (рис. 4), де pr Y ( x ; y ) = y ГЋ Y для будь-якої точки ( x ; y ) ГЋ X ' Y . Безлічі X ' Y і Y є незв'язними, але проекція - зв'язне відображення (в силу теореми 2.7, яка буде доведена в пункті 2.4).
Розглянемо інші приклади зв'язкових відображень, пов'язані з безперервними числовими функціями.
Теорема 2.6. Безперервна функція f : [ a ; b ] в†’ R є зв'язковий тоді і тільки тоді, коли вона монотонна, тобто коли для будь-яких точок х, х Вў ГЋ [ a ; b ], де х ВЈ х Вў, виконується тільки одне з двох властивостей: f ( x ) ВЈ f ( x Вў ) або f ( x ) Ві f ( x Вў ).
Доказ. Необхідність. Функція f є відображенням компактного безлічі в хаусдорфово простір, тому вона замкнута (в силу пропозиції 2.1). Тоді, по теоремі 2.3, функція f є пошарово зв'язковою. p> Припустимо, що f - не монотонна. Тоді знайдуться такі точки х 1 , х 2 , х 3 ГЋ [ a ; b ] і х 1 < х 2 < х 3 , для яких виконується система неревенств:
В
В В . p> Покладемо f ( x 1 ) = y 1 , f ( x 2 ) = y 2 , f ( x 3 ) = y 3 і y 3 Ві y 1 (або y 1 Ві y 3 ). Тоді шар f -1 ( y 3 ) є зв'язковим замкнутим підмножиною прямий y = y 3 (рис. 5), тобто відрізком. По теоремі про проміжному значенні функції, існує точка х Вў ГЋ [ x 1 ; x 2 ) і f ( x Вў ) = y 3 . У силу зв'язності шару f -1 ( y 3 ), відрізок [ А ; В ] (див. рис. 5) повинен цілком лежати в шарі f -1 ( y 3 ). Але точка ( X 2 ; y ...
