піввідношення:
В
звідки легко знаходимо C = -4, E = 18.
Отже, всі коефіцієнти A, B, C, D, F, G визначені. Підставляючи у співвідношення () знайдені значення цих коефіцієнтів, ми і отримуємо формулу (7). p> Дискримінант грає важливу роль в теорії алгебраїчних рівнянь. З його допомогою можна дізнатися, чи збігаються їхні коріння, досліджувати число дійсних коренів і так далі
Розглянемо квадратне рівняння. Нехай x1 і x2 - корені квадратного рівняння
x ВІ + px + q = 0
з дійсними коефіцієнтами p і q. За формулами Вієта маємо:
і. br/>
Тому
= (x1-x2) 2 == p2-4q. (8)
Ми обмежимося розглядом рівнянь з дійсними коефіцієнтами. У цьому випадку можуть бути три можливості:
а) корені рівняння дійсні і різні,
б) корені рівняння дійсні і збігаються,
в) корені рівняння комплексно сполучені.
Дискримінант дозволяє відповісти на запитання, який же з цих випадків має місце. Найпростіше з'ясувати, чи збігаються коріння нашого рівняння. Адже якщо вони збігаються, тобто якщо x1 = x2, то = (x1-x2) 2 = 0, і навпаки. Користуючись формулою (8), отримуємо таку відповідь: коріння квадратного рівняння x ВІ + px + q = 0 збігаються тоді і тільки тоді, коли p2-4q = 0. Ясно, що якщо коріння збігаються, то вони дійсні (оскільки x1 + x2 =-p). Нехай тепер x1 і x2 різні, тобто 0. З'ясуємо, коли коріння дійсні, а коли вони комплексно сполучені. Якщо коріння x1 і x2 дійсні, то число x1-x2 теж дійсно, і тому = (x1-x2) 2 - позитивне число. Якщо ж коріння x1 і x2 комплексно сполучені, тобто x1 =, x2 =, то x1-x2 =, і тому = (x1-x2) 2 = є негативним числом. Згадуючи, що = p2-4q, ми отримуємо наступний результат:
Нехай x ВІ + px + q = 0 - квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами. Тоді
а) якщо = p2-4q> 0, то корені рівняння дійсні і різні;
б) якщо = p2-4q = 0, то корені рівняння дійсні і збігаються;
в) якщо = p2-4q <0, то корені рівняння комплексно сполучені.
Таким чином, у разі квадратного рівняння дискримінант дозволяє повністю розрізнити випадки, коли рівняння x ВІ + px + q = 0 з дійсними коефіцієнтами має дійсні різні, дійсні збігаються комплексні корені. З цим пов'язано і походження терміна В«дискримінантВ»: латиною discriminatio означає розрізнення.
Розглянемо тепер кубічне рівняння
x 3 + nx 2 < span align = "justify"> + px + q = 0...
