. А саме:
Nrd = l.
Безліч, побудовані відповідно з малюнком 21, володіють цілою розмірністю. Задамося питанням, чи можливо таке побудова, при якому показник d в рівності (5.1) не є цілим, тобто таке, що при розбитті вихідного безлічі на N непересічних підмножин, отриманих масштабуванням оригіналу з коефіцієнтом r, значення d НЕ буде виражатися цілим числом. Відповідь, як ми переконаємося - рішуче так! Така безліч називають самоподібним фракталом. Величину d називають фрактальної (дробової) розмірністю або розмірністю подоби. Явна вираз для d через N і r знаходиться логарифмування обох частин (5.1)
В
Логарифм можна взяти з будь-якого позитивного основи, відмінному від одиниці, наприклад по підставі 10 або по підставі е? 2,7183. br/>В
Рисунок 21 - Зв'язок розмірності і коефіцієнта подібності.
Фрактал як і раніше може бути об'єднанням непересічних підмножин, одержаних масштабуванням оригіналу, але коефіцієнти подібності вже не обов'язково одні й ті ж для всіх підмножин. У цьому випадку формула для розмірності (5.2) непридатна. p align="justify"> Термін фрактал був вперше введений в 1975 році Бенуа Мандельброт, піонером в області фрактальної геометрії. Багато математичні ідеї оформилися задовго до цього, ще в XIX-му столітті, в роботах Георга Кантора, Карла Вейєрштрасса, Джузеппе Пеано та інших. Поняття фрактальної (дробової) розмірності з'явилося в 1919 році в роботі Фелікса Хаусдорфа. Тим не менш, саме Мандельброт об'єднав ці ідеї і поклав початок систематичному вивченню фракталів та їх додатків. br/>
.1.1 Сніжинка Коха
Кордон сніжинки, придуманою Гельгом фон Кохом в 1904 році частин згідно з малюнком 22, описується кривою, складеної з трьох однакових фракталів розмірності d? 1,2618. Кожна третину сніжинки будується итеративно, починаючи з однієї зі сторін рівностороннього трикутника. Нехай K0 - початковий відрізок. Приберемо середню третину і додамо два нових відрізки такої ж довжини у відповідності з рисунком 23. Назвемо отримане безліч К1. Повторимо дану процедуру багаторазово, на кожному кроці замінюючи середню третину двома новими відрізками. Позначимо через Кn фігуру, що вийшла, після n-го кроку. p align="justify"> Інтуїтивно ясно, що послідовність кривих
В
сходиться до деякої граничної кривої К. Припустимо, що крива К існує, і розглянемо деякі її властивості.
В
Малюнок 22 - Сніжинка Коха
Якщо взяти копію К, зменшену в три рази (r = 1/3), то все безліч До можна скласти з N = 4 таких копій. Отже, відношення самоподібності (5.1) виконується при зазначених N і r, а розмірність фрактала буде:
d = log (4)/log (3)? 1,2618. p align="justify"> Ще одна важлива властивість, яким володіє межа сніжинки Коха її ...
