нескінченна довжина (див. теорему 5.1.1). Зазвичай гладкі або хоча б кусково-гладкі, криві завжди мають кінцеву довжину (у чому можна переконатися інтегруванням). Мандельброт в цьому зв'язку опублікував ряд захоплюючих робіт, в яких досліджується питання про вимірювання довжини берегової лінії Великобританії. В якості моделі він використовував фрактальну криву, що нагадує кордон сніжинки за тим винятком, що в неї введений елемент випадковості, що враховує випадковість у природі. У результаті виявилося, що крива, що описує берегову лінію, має нескінченну довжину. br/>В
Малюнок 23 - а) К0, б) К1 в) К2, г) K3.
Теорема 5.1.1 Кордон сніжинки Коха має нескінченну довжину.
Доказ. Досить показати, що кожен з трьох ідентичних фракталів К, отриманих итерациями відповідно з малюнком 23, має нескінченну довжину. Нехай вихідний відрізок К0 має одиничну довжину. Тоді довжина кривої К1 дорівнює 4/3. Довжина кривої К2 дорівнює 42/32. Продовжуючи таким чином маємо, що крива Кп після n-го кроку має довжину 4n/3n. Отже, довжина граничної кривої К дорівнює нескінченності:
В
5.1.2 Килим Серпінського.
Ще один приклад простого самоподібного фрактала - килим Серпінського відповідно з малюнком 24, придуманий польським математиком Вацлавом Серпінським в 1915 році. Сам термін килим (gasket) належить Мандельброту. У способі побудови, наступному нижче, ми починаємо з деякої області і послідовно викидаємо внутрішні підобласті. br/>В
Малюнок 24 - Килим Серпінського.
Нехай початкове безліч S0 - рівносторонній трикутник разом з областю, яку він замикає. Розіб'ємо S0 на чотири менші трикутні області, з'єднавши відрізками середини сторін вихідного трикутника. Видалимо внутрішність маленької центральної трикутної області. Назвемо залишився безліч S1 відповідно з малюнком 25. Потім повторимо процес для кожного з трьох, що залишилися маленьких трикутників і отримаємо наступне наближення S2. Продовжуючи таким чином, отримаємо послідовність вкладених множин Sn, чиє перетин і утворює килим S.
В
Рисунок 25 - Побудова килима Серпінського.
З побудови видно, що весь килим являє собою об'єднання N - 3 істотно непересічних зменшених у два рази копій; коефіцієнт подібності r = 1/2 (як по горизонталі, так і по вертикалі). Отже, S - самоподібний фрактал з розмірністю:
d = log (3)/log (2)? 1,5850
Очевидно, що сумарна площа частин, викинутих при побудові, в точності дорівнює площі вихідного трикутника. На першому кроці ми викинули 1/4 частину площі. На наступному кроці ми викинули три трикутника, причому площа кожного дорівнює 1/42 площі вихідного. Міркуючи таким чином, ми переконуємося, що повна частка викинутої площі склала:
...
