. Висловимо спочатку відстані d1 і d2, радіуси пучків w1 і w2 на дзеркалах 1 і 2, мінімальний радіус пучка w0 через радіуси кривизни дзеркал R1 і R2 і відстань d між ними:
, (20)
, (21)
Звільняючись від величини w0 в цих рівняннях, отримуємо
. (22)
Додавши до (22) рівність
, (23)
можна визначити невідомі параметри d1 і d2
, (24)
. (25)
Підстановкою (24) і (25) в (20) або (21) знаходимо останній невідомий параметр - мінімальний радіус пучка w0
. (26)
Використовуючи вирази (24), (25) і (26), легко знайти величину радіусів пучків на дзеркалах резонатора
, (27)
, (28)
Вищенаведені вирази дозволяють умова резонансу (17) записати у формі, що включає в явному вигляді параметри резонатора. Скористаємося відомою тригонометричної формулою
, (29)
де
, (30)
. (31)
Шляхом алгебраїчних спрощень вираз (29) можна привести до вигляду
. (32)
З урахуванням (32) умова резонансу прийме вигляд
. (33)
Вираз (33) дозволяє визначити резонансну частоту (власну частоту резонатора)
. (34)
Зауважимо, що останній вираз поєднується з умовою стійкості, оскільки член під знаком кореня може бути тільки дійсною величиною, а модуль кореня повинен бути менше одиниці. Число N визначає число півхвиль, що укладаються уздовж осі резонатора. Тому число N часто називають порядком поздовжніх мод резонатора або поздовжнім індексом. Індекси ж m і n називають індексами резонаторних мод, оскільки вони визначають число поперечних варіацій поля Ерміта-гауссових мод. При m=n=0 має місце чисто гауссова мода. Таким чином, щоб охарактеризувати просторову структуру власної моди резонатора крім параметрів d1, d2, w0, w1, w2 потрібно обов'язково задати один поздовжній N і два поперечних індексу m і n.
Якщо зафіксувати поперечні індекси m і n, то з (34) легко встановити, що частотний інтервал між сусідніми «поздовжніми» модами дорівнює с/2d.
Якщо структуру поля в резонаторі описувати за допомогою Лагера-гауссових мод, то їх параметри раніше будуть визначатися виразами (25) - (28). Резонансні ж частоти будуть визначатися виразом
. (35)
Для конфокального резонатора (d=R1=R2=b) параметри власної моди приймають значення
(36)
власна ж частота моди визначатиметься виразом
(37)
Параметр b називають конфокальним параметром. Найважливіша особливість конфокального резонатора полягає в тому, що в ньому досягається високий ступінь виродження власних мод: моди, мають різний набір індексів m, n, N можуть мати співпадаючі частоти. Дійсно, з (37) видно, що значення власної частоти резонатора v не зміниться, якщо суму поперечних індексів m + n збільшити на ціле число 2К (К=1, 2, 3 ...), а індекс N зменшити на К. Як випливає з (37), мінімальний частотний інтервал між парними і непарними модами резонатора, сума поперечних індексів яких m + n є відповідно парній і непарній, дорівнює с/4d.
3.5 Моди резонаторів при обмеженою апертурі дзеркал
Зі зменшенням розмірів дзеркал резонатора слід рахуватися з проявами ефектів дифракції. Останні приведуть до втрат енергі...
