ї на зовнішній апертурі дзеркал. У цьому випадку мода резонатора являє собою певну конфігурацію повільно затухаючого поля з відносним розподілом амплітуди, що не змінюється в часі. У разі лазерної генерації втрати енергії компенсуються за рахунок активного середовища, що забезпечує існування стаціонарного поля.
Для розрахунку поля резонаторів з кінцевою апертурою дзеркал може бути притягнутий принцип Гюйгенса у формулюванні Френеля-Кірхгофа. Якщо розподіл поля на дзеркалі 1 задати функцією u1, то поле на дзеркалі 2 визначатиметься дифракційним інтегралом:
(38)
де А - площа кожного з дзеркал. Відбившись від дзеркала 2, світлова хвиля почне поширюватися в зворотному напрямку. Таким чином, вона буде поширюватися в резонаторі вперед і назад, поперемінно відбиваючись від його дзеркал. Після q проходів зв'язок поля у одного дзеркала з полем у іншого дзеркала буде знову ж визначатися виразом (38), де поле u1 слід замінити на uq, а u2 на uq +1.
Після великого числа проходів розподіл поля у дзеркал буде піддаватися незначним змінам від відображення до відбиття і з часом стане стаціонарним. На цій стадії поля близько дзеркал стають однаковими з точністю до комплексної постійної, що дозволяє записати співвідношення:
(39)
де v - функція розподілу, що не змінюється від відображення до відбиття, і?- Комплексна постійна, яка не залежить від координат. Підставляючи (39) в (38), отримуємо інтегральне рівняння:
(40)
де ядро ??
(41)
Функцію розподілу поля v можна розглядати як моду резонатора. Дифракційні втрати моди визначаються виразом:
(42)
де?- Енергія, що втрачається при одному проходженні через дифракції на дзеркалах. Фазові набіги моди пов'язані з величиною? співвідношенням:
? =Кут? , (43)
де?- Фазовий зсув, зазнає хвилею при поширенні від одного дзеркала до іншого, на додаток до фазового зсуву плоскої хвилі, що визначається як 2? D /? . Якщо сумарні втрати в резонаторі малі, добротність резонатора може бути представлена ??у вигляді:
(44)
де? t - сумарні втрати, включаючи дифракційні втрати, втрати на пропускання, поглинання і розсіяння. Резонансна частота буде визначатися співвідношенням:
(45)
Інтегральне рівняння (40) можна вирішити чисельним методом послідовних наближень, який багато в чому аналогічний описаному вище фізичному процесу збудження початкового розподілу поля світлової хвилі в резонаторі і поширенню його взад і вперед між дзеркалами. Спочатку на дзеркалі 1 задається довільний розподіл поля, а потім за допомогою перетворення (38) послідовно знаходяться поля на дзеркалах після кожного нового проходу. Розрахунок показує, що після 300 віддзеркалень світлової хвилі, флуктуації, що спостерігаються від проходу до проходу, складають менше 0.03% Від середньої величини, тим самим розподіл амплітуди і фази після 300 проходів можна поставити у відповідність певній моді резонатора.
На малюнку 17 приведено отримане в результаті розрахунку відносний розподіл поля моди ТЕМ00 симетричного резонатора з круглими дзеркалами радіуса а. На малюнок 18 для такого ж резонатора наведена залежність дифракційних втрат моди ТЕМ00 від числа Френеля Nфр=a2 /? D. Число Nфр дорівнює числу зон Френеля, що перекриваються дзеркалом резонатора при приміщенн...
