Нехай проведені N експериментів, в результаті яких отримані наступні значення величин X і Y:
X
x 1 , x 2 , ............, x N
Y
y 1 , y 2 , ............, y N /Td>
Нанесемо результати експериментів на координатну площину у вигляді точок, координатами яких є x i , y i , отримаємо кореляційне поле
В
В
Рис.3. Кореляційне полі.
На рис.3а) - явно лінійна залежність між X і Y,
на ріс.3б)-залежність нелінійна,
на ріс.3в) - залежність між X і Y відсутня. p> Найпростішим видом емпіричної формули є лінійна залежність
Y = aX + b.
Функцію f (x) = ax + b називають лінійної регресією Y на X. p> Існують різні методи обчислення коефіцієнтів a і b: метод "натягнутою нитки", метод сум і метод найменших квадратів.
Розглянемо метод "Натягнутою нитки". p> Нанесемо результати експерименту на координатну площину (див. рис.4)). Подумки натягнемо нитка таким чином, щоб по обидві сторони від неї залишалося приблизно рівне число точок, при цьому суми відстаней від точок до нитки з обох сторін повинні бути однакові і мінімальні.
В
В
Рис.4. Метод "Натягнутою нитки". br/>
На прямій, що збігається з напрямком нитки, виберемо дві точки з координатами (x1, y1) і (x2, y2). Підставимо координати точок в рівняння y = ax + b. Отримаємо систему з двох рівнянь з двома невідомими a і b і вирішуємо її
В
Складемо рівняння y = ax + b, використовуючи рішення (A, b) системи. br/>
8.1 Метод найменших квадратів
Будемо шукати рівняння регресії у вигляді лінійної залежності:
В
Коефіцієнти a 0 і a 1 визначаються з умови: сума квадратів відхилень експериментальних значень y від розрахованих за рівнянням регресії повинна бути мінімальною.
В
Для відшукання мінімуму складемо систему рівнянь
В
Вирішуючи цю систему, отримуємо значення коефіцієнтів:
В
Позначимо через r xy оцінку коефіцієнта лінійної кореляції:
.
Тоді коефіцієнти регресії визначаються рівністю
В
- рівняння лінійної регресії.
Аналогічні обчислення для другого рівняння регресії дають такі значення коефіцієнтів:
.
Тоді рівняння регресії має вигляд:
.
Властивості коефіцієнта лінійної кореляції:
1.Коеффіціент лінійної кореляції r xy за абсолютною величиною не перевищує 1:
2.Якщо X і Y (випадкові величини) незалежні, то r xy = 0, зворот...
