. Найбільш важливими і поширеними у вимірювальній практиці є такі випадки:
відома одна з дисперсій похибок,? 2х або? 2у, або ставлення дисперсій l =? 2у /? 2х;
відома оцінка одного з параметрів? 2х,? 2у або l, отримана незалежно від даного набору результатів вимірювань;
вимірювання значень вхідних і вихідних величин виконуються з багаторазовими спостереженнями;
мається критерій, що дозволяє згрупувати або впорядкувати результати вимірювань вхідної величини xi незалежно від їх похибок.
Перераховані випадки нерідко зустрічаються на практиці. Необхідні в першому випадку параметри іноді бувають відомі з попереднього досвіду. Особливий інтерес представляє останній випадок, так як часто таке правило випливає з фізичних умов постановки експерименту.
У першому, другому і третьому випадках спроможні оцінки є природними модифікаціями оцінок найменших квадратів. В останньому випадку використовуються дрібно-лінійні оцінки.
3.3.2 Випадок контрольованої змінної
Метод найменших квадратів широко застосовується для оцінки ГХ навіть у тих випадках, коли формально його використання некоректно (зокрема, коли є похибки вимірювань як вхідний, так і вихідний величин). На щастя, в багатьох практичних випадках вимірювальний експеримент буває поставлений (або може бути поставлений) так, що застосування МНК дійсно виявляється можливим. Це так званий випадок контрольованої змінної. Припустимо, що експериментатор має можливість заздалегідь вибрати значення вхідної величини, скажімо, хізм і змінювати (регулювати) вхідну величину так, щоб встановити прилад на позначку хізм. При фіксованій вхідний величиною вимірюється відповідне значення вихідної величини у. У цьому випадку змінну х називають контрольованою змінної або говорять, що мається активний експеримент.
У разі контрольованої змінної, при побудові лінійної залежності задача конфлюентних аналізу зводиться до регресійної завданню. Зокрема, можна, застосовувати МНК.
Якщо прилад встановлений на позначку хізм, то справжнє значення вхідної величини одно:
х=хізм + D х, (3.8)
де D х - похибка установки приладу на відмітку хізм.
Зауважимо, що ця похибка може відрізнятися від похибки вимірювання величини X. При повторній установці приладу на ту ж позначку х буде інше істинне значення вхідної величини; отже, при повторних спостереженнях результат х фіксований, а істинні значення різні:
хi=хізм + D хi,
i=1 ... n. (3.9)
Вихідна величина, відповідна істинного значення хi дорівнює:
(3.10)
а результат її виміру:
(3.11)
Таким чином, в отриманому виразі величина х невипадкова, а пов'язана з yi похибка наведена до правої частини. Отже, для побудови лінійної залежності в даному випадку можна використовувати МНК. Слід підкреслити, що це приведення коректно лише в разі контрольованої змінної.
Таким чином, при побудові лінійної ГХ у разі контрольованої змінної можливе використання МНК. Ця обставина вельми важливо, і тому багато практичні завдання доцільно наводити до схеми контрольованої змінної. На жаль, метод контрольованої змінної не можна прямо узагальнити на випадок поліномінальної залежності y=f (x); навіть при контрольованій вхідної змінної x поліномінальної випадок не зводиться до регресійної завданню, у зв'язку з чим застосування МНК залишається некоректним.
3.4 Робастні методи побудови залежностей
Як відомо, метод найменших квадратів є оптимальним лише при точно відомих вхідних величинах і гауссовских розподілах похибок вимірювань вихідних величин. Однак при розподілах похибок, що значно відрізняються від гауссовских, а також за наявності викидів і грубих помилок - оцінки найменших квадратів можуть мати великі похибки [17]. У таких випадках доцільно застосовувати робасні (або стійкі) методи побудови залежностей. Ці методи розроблені спеціально для використання в тих випадках, коли можливі відхилення від класичної моделі або присутні викиди і промахи [18]. Методи відрізняє те, що відхилення реальних розподілів похибок від гауссовских і наявність викидів мало впливають на одержувані результати. Найпростіші робастні методи побудови залежностей полягають в тому, що спочатку будують залежність яким-небудь простим методом (наприклад, МНК), потім відкидають далеко віддалені від неї експериментальні точки і за рештою точкам знову будують залежність (можливо, іншим методом). У більш складних методах далеко віддалені крапки не відкидають, але приписують їм малі ваги.
Робастні методи поки ще недостатньо широко застосовуються в метрології. Проте їх все більш широко використовують у різних наукових дослідженнях при обробці експериментальних даних, і в даний час вони ...
