є несумісною і не має єдиного рішення, тобто не існує такої комбінації невідомих коефіцієнтів bj, яка відповідала б усім рівнянням системи. Тому такі системи носять назву системи умовних рівнянь.
нев'язки балансу лівої і правої частин рівнянь можна трактувати як відхилення розрахункового значення відгуку від експериментального його значення. Сумарною характеристикою цих відхилень буде залишкова сума SUMost:
(3.4)
де ygr - розрахункове значення відгуку по рівнянню.
Ця величина дозволяє сформулювати поняття найкращого рішення системи рівнянь, яка не має єдиного рішення. Найкращим буде рішення, яке мінімізує залишкову суму. Таке рішення називається методом найменших квадратів. У точці мінімуму функції (3.4) її похідні? (SUMost) /? Bj дорівнюють нулю. Диференціюючи рівняння (3.4) по всіх коефіцієнтам регресії і прирівнюючи нулю похідні, одержимо систему нормальних рівнянь [16], яка сумісна, має єдине рішення і мінімізує залишкову суму. Але для багатофакторних поліномів високих ступенів спосіб створення системи нормальних рівнянь через приватні похідні складний і трудомісткий. Існує більш простий спосіб побудови системи нормальних рівнянь шляхом покрокового перетворення системи умовних рівнянь.
3.2.3 Перетворення системи умовних рівнянь за методом найменших квадратів. Система нормальних рівнянь
Покрокова процедура перетворення системи умовних рівнянь в систему нормальних рівнянь була розроблена Гауссом. На першому кроці процедури кожне умовне рівняння системи множиться на свій множник при першому коефіцієнті регресії b0, після чого всі перетворені таким чином умовні рівняння складаються зверху вниз; сумарне рівняння і буде першим нормальним рівнянням. На другому кроці кожне вихідне умовне рівнянь множиться на свій множник при другому коефіцієнті b з наступним складанням отриманих рівнянь і утворенням другого нормального рівняння і т.д., до вичерпання всіх множників при коефіцієнтах b. У результаті формується система нормальних рівнянь, число яких дорівнює числу коефіцієнтів регресії в рівнянні.
Система нормальних рівнянь сумісна, має єдине рішення і мінімізує залишкову суму, тобто забезпечує найкраще рішення системи рівнянь з усіх можливих рішень.
3.3 Методи конфлюентних аналізу
. 3.1 Умови застосування методів конфлюентних аналізу
При побудові градуювальних характеристик нерідко зустрічається випадок, коли і вхідна, і вихідна величини вимірюються з похибками, якими не можна нехтувати. Як відзначають багато авторів, застосування МНК в цьому випадку необгрунтовано: він дає неточні результати, а головне - не дозволяє правильно оцінити їх похибки. Для вирішення таких завдань в математичній статистиці розроблені різноманітні методи відомі під загальною назвою «методи конфлюентних аналізу». Для них характерно те, що при їх використанні необхідна спеціальна додаткова інформація. Методи конфлюентних аналізу менш вивчені, ніж класичний метод найменших квадратів; але деякі з них успішно застосовуються в практичних, у тому числі, вимірювальних завданнях.
Передбачається, що результати вимірювань мають похибки приблизно одного порядку, т. е. не можна знехтувати похибкою одного результату вимірювання в порівнянні з іншим і навпаки. У математичній статистиці передбачається, що похибки є випадковими, причому середні значення похибок дорівнюють нулю. Проте методи конфлюентних аналізу застосовні і в тих випадках, коли похибки містять також систематичні складові; в останньому випадку результати також містять систематичні похибки, які слід оцінювати на основі загальних співвідношень.
При побудові лінійної ГХ основний інтерес представляє коефіцієнт перетворення b. Якщо отримана оцінка b, то вільний коефіцієнт (зсув нуля) а оцінюється за формулою:
(3.5)
причому ця оцінка має такі ж властивості, як і оцінка b.
При наявності тільки похибок вимірювань вихідної величини оцінки найменших квадратів оптимальні: вони не зміщені і мають найменші дисперсії. При наявності похибок вимірювань вхідних і вихідних величин X і Y взагалі невідомі прості незміщені оцінки коефіцієнтів. Можна лише будувати спроможні оцінки, для яких при збільшенні числа вимірів мається збіжність за ймовірністю:
(3.6)
При цьому крім дисперсії оцінки D (b)=E (bE (b)) 2 необхідно також вказувати її зсув B (b)=E (bE (b)); часто використовують також другий момент щодо істинного значення параметра:
(3.7)
Для застосування методів конфлюентних аналізу крім результатів вимірювань необхідна спеціальна додаткова інформація. Відповідно до виду інформації методи конфлюентних аналізу вельми різноманітні...
