тю 1Прі будь-яких і n в послідовності , , ..., , ... знайдуться реалізації, що перевершують .
Зазначимо, що за наявності деяких додаткових умов, що накладаються на величини , збіжність за ймовірністю тягне збіжність майже напевно.
. Нехай монотонна послідовність. Довести, що в цьому випадку збіжність до за ймовірністю спричиняє збіжність до з імовірністю 1.
Рішення. Нехай монотонно спадаючий послідовність, тобто ... .... Для спрощення наших міркувань будемо вважати, що 0, 0 при всіх n. Нехай сходиться до за ймовірністю, проте збіжність майже напевно не має місце. Тоді існує 0, таке, що при всіх n
0.
Але = і сказане означає, що при всіх
0.
Що суперечить збіжності до за ймовірністю. Таким чином, для монотонної послідовності , сходящейся до за ймовірністю, має місце і збіжність з імовірністю 1 (майже напевно).
3. Нехай послідовність xn сходиться кx за ймовірністю. Довести, що з цієї послідовності можна виділити послідовність, сходящуюся до x з імовірністю 1 при. p> Рішення. Нехай - деяка послідовність позитивних чисел, причому, і - такі позитивні числа, що ряд. Побудуємо послідовність індексів n1
В
Тоді ряд
,
Так як ряд сходиться, то при будь-якому? > 0 залишок ряду прагне до нуля. Але тоді прагне до нуля і
,
тобто.
. Довести, що з збіжності в середньому якого або позитивного порядку слід збіжність за ймовірністю. Наведіть приклад, що показує, що зворотне твердження невірно. p> Рішення. Нехай послідовність xn сходиться до величини x в середньому порядку р> 0, тобто
.
Скористаємося узагальненим нерівністю Чебишева: для довільних? > 0 і р> 0
.
Спрямувавши і враховуючи, що, отримаємо, що
,
тобто xn сходиться кx за ймовірністю.
Однак збіжність за ймовірністю не тягне за собою збіжність в середньому порядку р>...
