внянь Коші
{e} ==. (3.6)
Підставляючи в рівняння (3.6) рівності (3.3) і (3.5) і виробляючи диференціювання, отримаємо:
В
Напруги {s} = [D] * {e} = [D] * [B] * {d} e (3.8)
Матриця [D] для випадку плоского напруженого стану має вигляд:
[D] =;
Для виведення основної рівняння МКЕ скористаємося принципом стаціонарності повної енергії системи
(3.9)
гдеП = 0,5 * ГІ {e} T {s} dS - {d} T {P} (3.10)
{P} - вектор зовнішніх сил.
Підставимо в (3.10) співвідношення (3.7) і (3.8):
П = 0,5 * ГІ {d} T [B] T [D] [B] {d} e dS - {d} T [P], (3.11)
тому в (3.11) вектори і матриці від координат не залежить, то
П = 0,5 * {d} T [B] T [D] [B] {d} e S - {d} T [P], (3.12)
Підставляючи (3.12) в (3.9), отримаємо:
S * [B] T [D] [B] {d} e - [P] = 0, (3.13)
Введемо позначення:
[K] = S * [B] T [D] [B], (3.14)
тоді (3.13) прийме вигляд:
[K] {d} e = [P] (3.15)
Це і є основне рівняння МКЕ.
В
Якщо у (3.14) виконати матричні операції, то отримаємо:
В
де [K] ij = [K] jiT, m, n = i, j, k; r = E/(1-m2).
Матриця жорсткості системи, яка визначає жорсткість конструкції в цілому, будується в наступному порядку
Kij =, (3.18)
де N - кількість кінцевих елементів дискретизованного області.
Підсумовування в (3.18) проводиться враховуючи номери кінцевих елементів і вузлів. Покажемо сказане на прикладі. p> Нехай дискретизованного область має вигляд рис.3.2.
В
Рис. 3.2 - Схема визначаються глобальними номерами розглянутих вузлів
Матриця жорсткості для цього ансамблю (глобальна матриця) може бути отримана наступним чином:
) формуємо відповідне матричне поле, поки не заповнене (двовимірний масив);
) розглядаємо i-й кінцевий елемент і для нього обчислюємо матричні коефіцієнти по (3.17), які додаємо до глобальної матриці на позиції,
Отже, дотримуючись глобальну нумерацію вузлів і номери кінцевих елементів (верхні індекси) пластинки, отримаємо:
В
З огляду на те, що матриця жорсткості системи має стрічкову структуру і симетрична щодо головної діагоналі, в пам'яті ЕОМ достатньо сформувати і зберігати лише члени зі стрічки по одну сторону від головної діагоналі (включаючи і діагональні члени). Після побудови матриці жорсткості всієї конструкції [K], складається система лінійних рівнянь. br/>
[K] {d} = {P} (3.19)
де {P} і {d} - вектори вузлових сил і переміщень системи;
{P} =; {d} =.
У своєму первісному вигляді система (3.19) рішення не має, тому що матриця жорсткості [K] сингулярна - її головний визначник дорівнює 0. Зазначим...
