i> Емпіричні методи
Спостереження, досвід, виміру - емпіричні методи, використовувані при вивченні експериментальних природничих наук, - не є специфічними для математики. Однак у початковому навчанні математики ці методи повинні широко застосовуватися в якості евристичних. Наприклад, вивчення поняття «квадрат» учні починають з розгляду безлічі предметів, що відрізняються один від одного формою, розмірами, забарвленням, матеріалом, з якого вони зроблені. Діти, після того як їм показують одну з цих фігур і кажуть, що це квадрат, безпомилково відбирають з безлічі предметів ті, які мають таку ж форму, нехтуючи відмінностями, що стосуються розмірів, забарвлення, матеріалу. Тут виділення з безлічі предметів підмножини здійснюється по одному, можливо, ще неусвідомленого ознакою - за формою. Таке розпізнавання зустрічається вже у дошкільнят. Подальша робота з формування поняття «квадрат» полягає в аналізі цієї форми з метою виявлення її властивостей.
Досвідченим же шляхом учні «відкривають» практично всі властивості арифметичних операцій (і сполучна додавання, властивість розподільні множення відносно додавання), функціональних залежностей (прямий і зворотній пропорційності), геометричних фігур.
Порівняння і аналогія
Порівняння і аналогія - логічні методи, використовувані як в наукових дослідженнях, так у навчанні. У результаті порівняння виявляються схожість і відмінність порівнюваних предметів, тобто наявність у них загальних і незагального (різних) властивостей. Наприклад, порівнюючи квадрат і прямокутник, ми виявляємо загальні властивості: чотири сторони, чотири вершини, чотири кути, всі кути прямі, а також відмінності: у квадраті всі сторони рівні, в прямокутнику - тільки протилежні (мається на увазі різносторонній прямокутник). При порівнянні рівностей 3 +5=5 +3 і +4 +6=6 +4 виявляється дуже важливе їх властивість, яка служить основою для подальшого узагальнення: у кожному рівність знаком «=» пов'язані дві суми, що розрізняються лише порядком доданків.
Правильний висновок можна отримати, якщо виконуються наступні умови: а) порівнювані поняття однорідні; б) порівняння здійснюється за істотними ознаками. Обидва ці умови виконуються в наведених вище порівняннях: а) квадрат і прямокутник - однорідні поняття (чотирикутники), записи 3 +5=5 +3 і +4 +6=6 +4 - рівності арифметичних виразів; б) порівняння вироблено за істотними ознаками, службовцям основою для визначення квадрата і прямокутника в першому випадку, і для узагальнення та відкриття закону коммутативности складання у другому. Порівняння готує грунт для застосування аналогії. Сутність виведення висновку за аналогією полягає в наступному. Якщо у об'єктів а і в є загальні ознаки р 1 , р 2 , ..., р n а в об'єкта а виявлено, крім того, властивість р n +1 , стверджують, що і в має властивість р n +1 . Правильне використання аналогії передбачає наступне: 1) число загальних властивостей об'єктів а і в ма...
