- На пряму q 1 - АВ і А 3 У < sub> 3 . Нехай АС і А 3 З 3 - образи відрізків А 1 У 1 і А 2 У 2 при афінному перетворенні f , значить, А 1 У 1 | | А 2 У 2 і (тому що при косому стисненні зберігається паралельність прямих і ставлення паралельних відрізків), тоді (відповідні кути при перетині паралельних прямих січною), отже, прямокутні трикутники АВС і А 3 У 3 З 3 подібні, виходячи з цього. Ми отримали, що при цій трансформації відстань від точки А до прямої q 1 змінилося в k разів:. Причому з того, що А 1 А 2 | | l , випливає, що AA 3 | | f ( l ) , тому що при косому стисненні зберігається паралельність прямих, значить, точка А змістилася у напрямку f ( l ) . Отже, в силу довільності точки А , шукана трансформація є косе стиснення з віссю f ( q ) , напрямком f ( l ) і коефіцієнтом k .
17. Рішення задач за допомогою трансформації перетворень
Задача 1. Дано правильні однаково орієнтовані трикутники OAB , OCD , OEF . Довести, що середини M , N , P відповідно відрізків BC , DE , AF є вершинами правильного трикутника. [1]
Рішення. З чотирикутника BEDC знаходимо: (рис. 14). Пам'ятаючи, що результат повороту вектора не залежить від центру повороту, виконаємо поворот цих векторів на -60 В°:,,. На підставі (6) чином вектора буде вектор. Звідси і випливає, що трикутник MNP правильний. p> Завдання 2. Знайти всі переміщення площині, перестановочне з осьової симетрією S l . [В«Математика в школіВ», 1977, № 1, завдання 1802]
Рішення. З визначення (1) випливає, що. Якщо f = S l , то на підставі залежності (3) маємо:. Завдання вимагає знайти такі переміщення g , щоб. А для цього необхідно і достатньо того, щоб S l = S g < i> ( l ) , звідки l = g ( l ) . Переміщеннями, що відображають пряму l на себе, є: осьова симетрія з віссю l , осьові симетрії, осі яких перпендикулярні прямий l , центральні симетрії з центрами на l , переноси паралельно l , переносні симетрії з ві...
