ссю l , тотожні переміщення і тільки ці перетворення.
Задача 3. Визначити взаємне розташування центрів A , B , C і залежність між коефіцієнтами k , l , m гомотетий A k , B l , C < sub> m , якщо
, (42)
де точки A , B , C різні і числа k , l , m не рівні 1.
Рішення. З даної залежності (42) отримуємо:, або в прийнятих позначеннях (1)
. (43)
Розглянемо окремо два можливих випадки: lk в‰ 1 і lk = 1 . У першому випадку, причому. Звідси отримуємо:. Відповідно до формули (24), результатом трансформації гомотетии гомотетии є знову гомотетия. Тому, при цьому по теоремі про нерухому точку Q = B 1/ l ( P ) і, отже,. Тоді (43) приймає вигляд:
,
де Q = C m ( P ) , і, значить,. Так як,,, то точки A , B , C колінеарні. Як бачимо, при lk в‰ 1 для коефіцієнтів k , l , m додаткових обмежень не виникає.
При lk = 1 за формулою (22) буде, тоді й згідно (26). Тому (43) приймає вигляд, або при будь-якому положенні точки C . Звідси lm = 1 . Отже, при lk = lm = 1 центри A , B , C гомотетий довільні.
Задача 4. Точки А , В , З лежать на прямій а , точки А 1 , У 1 , З 1 - На прямій а 1 , паралельної прямій а (рис. 15). Довести, що точки P = (AB 1 ) ∩ (A 1 B), Q = ( AC 1 ) ∩ ( A 1 C ) і R = ( BC 1 ) ∩ ( B < sub> 1 C ) колінеарні (теорема Паппа-Паскаля).
Рішення. Розглянемо гомотетии P k , R l , Q m , задані зазначеними центрами і парами точок A в†’ B 1 , B 1 в†’ C , C в†’ A 1 відповідно. Оскільки за умовою a | | a 1 , то Q m ( A ) = C 1 , R l ( C 1 ) = B , P k ( B ...
