роходить через дев'ять подквадратов таким чином, що її початкова та кінцева точки лягають на криву попереднього рівня. Це дозволяє нам занумерувати подквадрата числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 і 8 всередині кожного квадрата. Повторимо описану процедуру нескінченно, щоразу розбиваючи квадрати на дев'ять подквадратов, будуючи криву через всі подквадрата так, щоб її кінці лягали на лінію попереднього рівня, та занумеровивая їх. Згідно з малюнком 28 зображено, як виглядає після двох ітерацій квадрат з номером 4. p> Фактично, крива Пеано, яка переводить I в S, визначається відображенням, яке зіставляє точці ХI, записаної в девятірічной системі числення 0, х1х2х3 ..., точку Р (х) S за наступним правилом:
Р (х) - у квадраті під номером х1 після першої ітерації,
Р (х) - у квадраті під номером х1x2 після другої ітерації,
Р (х) - у квадраті під номером х1x2x3 після третьої ітерації,
...
В
Малюнок 28 - Друга ітерація побудови Пеано, z = P2 (x)
Теорема: Відображення Пеано є безперервна функція, яка переводить інтервал I в квадрат S. Більше того, послідовність відображень P1 (x), P2 (x), Р3 (х), ... сходиться:
lim Рп (х) = Р (х), х I.
п??
Доказ. Ми доведемо, більш сильне твердження, ніж просто існування межі в (5.3). Саме, ми встановимо, що збіжність на відрізку J - рівномірна, з чого можна буде зробити висновок про безперервність граничної функції. Для встановлення рівномірної збіжності застосуємо критерій Коші в наступному формулюванні. p align="justify"> Для кожного ? > 0 існує такий номер К> 0, що при т> п> До виконується нерівність
d (Pm (x), Рп (х))
де d (Pm (x), Pn (x)) - евклідова відстань (довжина прямий) між точками Рт (х) і Рп (х).
Нехай 0 <п <т. Розглянемо сітку Gn, натягнуту на крапки види: {(k/Зn, l/Зn), 0? K, l? Зn}. Нехай N = 32n, і точки х0 = 0 <х1 <х2 <... п. Отже, для х [xj, xj +1]:
d (Pm (x), Pn (x)) <
Наведене міркування не залежить від того, якому саме інтервалу [xj, xj +1] прінадежіт точка x, а значить, нерівність вірно для всіх х I. Таким чином, вибравши До з умови n> К.
Відображення Пеано не встановлює взаємно однозначної відповідності між точками множин I і S. Це в принципі неможливо зробити за допомогою безперервної функції. Одній точці вздовж загального ребра двох квадратів відповідають дві точки відрізка. Більше того, одній точці на стику чотирьох квадратів відповідають цілих чотири точки від...
