різка. p> Інші відомі криві, що заповнюють площину, належать Гильберту, Серпінська і Госпер відповідно з малюнками 29, 30, 31.
В
Малюнок 29 - Крива Гільберта після 4-х ітерацій
В
Малюнок 30 - Крива Серпінського після 3-х ітерацій
В
Малюнок 31 - Крива Госпер після 3-х ітерацій.
.3 Пил Кантора
Класично безліччю Кантора, або пил Кантора, названо по імені Георга Кантора, який описав його в 1883 році. Існування пилу Кантора зазначалося до цього Генрі Смітом в 1875 році або ще раніше. Фрактальні властивості пилу Кантора мають величезне значення, особливо враховуючи той факт, що багато ізветность фрактали є близькими родичами цієї множини. p align="justify"> Побудова класичної пилу Кантора починається з викидання середньої третини (не включаючи кінці) одиничного відрізка. Тобто вихідна безліч є відрізок [0,1], і перший крок полягає у видаленні відкритого інтервалу (1/3, 2/3). На наступному і всіх інших кроках ми викидаємо середню третину (не включаючи кінці) всіх відрізків поточного рівня. Таким чином, ми отримуємо у відповідності з рисунком 32 послідовність множин:
В
Малюнок 32 - Побудова пилу Кантора.
С0 = [0,1]
C1 = [0,1/3] U [2/3, 1]
С2 = [0,1/9] U [2/9, 1/3] U [2/3, 7/9) U [8/9, 1]
...
Граничне безліч С, яке представляє собою перетин множин Сn, п = 0,1,2, ..., називається класичною пилом Кантора. Надалі ми будемо називати його просто Канторової пилом. p align="justify"> Властивості Канторової пилу.
1. Канторової пил є самоподібний фрактал розмірності
d = log (2)/log (3) = 0, 6309,
оскільки співвідношення Nrd = 1 виконується при N = 2 і r = 1/3.
Канторової пил не містить інтервалів позитивної довжини. Це очевидно з побудови.
Сума довжин інтервалів, віддалених при побудові безлічі З, в точності дорівнює 1. Щоб показати це, розглянемо наступний доказ. Довжина першого інтервалу, який ми викинули, становить 1/3. Щоб отримати С2, ми викинули два інтервали, кожен довжиною 1/32. На наступному кроці ми викинули 22 інтервалів, кожен довжиною 1/33, і т. д. Таким чином, сума довжин віддалених інтервалів S становить:
S = 1/3 + 2/32 + 22/33 + ... + 2n-1/3n + ...
Але цей вираз можна переписати у вигляді:
S = (1/3) (1 + 2/3 + (2/3); 2 4 - (2/3) 3 + ... -),
і за допомогою формули для суми геометричної прогресії, ми отримуємо:
В
Можна припустити, що якщо в С-небудь і залишилося після видалення всіх цих інтерв...
