/4 + 3 (1/42) + 32 (1/43) + --- + Зn-1 (1/4n) + ...
Ця сума дорівнює 1. Отже, ми можемо стверджувати, що залишився безліч S, тобто килим, має площу міри нуль. Це виділяє безліч S в розряд В«досконалогоВ», в тому сенсі, що воно розбиває своє доповнення на нескінченне число трикутних областей, володіючи при цьому нульовий завтовшки. p align="justify"> 5.1.3 Губка Менгера.
Існують і тривимірні аналоги килимів. Слідуючи Мандельброту, ми називаємо такі множини губками. Губка, відповідно з малюнком 26, називається губкою Менгера, на ім'я Карла Менгера. Це самоподібний фрактал з N = 20 і r = 1/3. Його розмірність дорівнює:
d = log (20)/log (3)? 2,7268. br/>
Така губка має об'єм міри нуль.
В
Малюнок 26 - Побудова губки Менгера
.2 Криві Пеано
Сніжинку Коха та інші безперервні криві на площині, отримані за допомогою L-систем, об'єднує те, що їх розмірність задовольняє нерівності: 1? d <2. Виникає питання, чи існує крива розмірності d = 2? Це питання примітний не тільки тим, що відповідь на нього позитивний, а й тим, що він був дозволений Джузеппе Пеано ще в 1890 році. Пеано побудував безперервну функцію, чия область визначення - відрізок, а область значень - квадрат на площині. Відповідна лінія називається кривою Пеано або кривої, що заповнює площину. Крива Пеано не є фракталом у визначенні Мандельброта, але тим не менш цікава як приклад функції, що відображає безліч заданої розмірності на безліч більшої розмірності. Це та інші подібні відкриття приблизно того ж часу, особливо роботи Вейерштраса і Кантора, справили величезний вплив на подальший розвиток математичного аналізу. Опори на одну тільки інтуїцію вже недостатньо. Поняття кривої Пеано, безумовно, не є інтуїтивним, а спочатку з'явилося з чисто аналітичних міркувань. p align="justify"> Введемо деякі позначення, зручні при вивченні властивостей кривої Пеано. Нехай I - одиничний відрізок [0,1], S - одиничний квадрат I х I, тобто
S = {(х, у): х, у I}
При побудові використовується представлення точок відрізка I в системі числення за основою 9. Перший крок полягає в тому, щоб розбити S на дев'ять рівних частин. Безперервна крива, яка проходить через всі квадрати, будується відповідно з малюнком 27 суцільною лінією зі стрілками. Пунктирна лінія вказує, в якому порядку обходяться квадрати. Квадрати пронумеровані числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 і 8, у відповідності з порядком, в якому лінія їх перетинає. Отримана лінія являє собою першу ітерацію побудови. br/>В
Малюнок 27 - Перша ітерація побудови Пеано, z - Р1 (х)
Далі, кожен з цих дев'яти квадратів розбивається на дев'ять рівних подквадратов, які нумеруються аналогічно тому, як це було зроблено на першій ітерації. Отримуємо лінію, яка п...
