пис частоти у вигляді суми невозмущенного значення і поправки першого наближення прийнята через те, що в періодично-неоднорідному середовищі існує характерний внутрішній масштаб ; це може призвести до появи дисперсії.
Підставами (31) в (30); збираючи окремо члени порядку і, отримаємо рівняння:
, (32)
(33)
За допомогою рішення рівняння (32) нульового наближення:
права частина (33) перетвориться до виду
(34)
Важливо зауважити, що при аналізі рівняння першого наближення (33) з правою частиною (34) ми стикаємося з двома фізично різними ситуаціями [1].
Якщо, рішення має вигляд:
(35)
У формулі (35) поряд з осцилюючими членами мається доданок, модуль якого необмежено зростає із збільшенням х. Оскільки ми цікавимося хвилями з обмеженою амплітудою, це доданок має бути звернена в нуль, що можливо тільки при. Таким чином, при поправка до частоти в неоднорідному середовищі відсутній і .
Якщо ж , права частина (34) приводиться до формі:
(36)
Вираз (36) також містить «резонансні» члени, пропорційні , які призводять до появи у вирішенні доданків, зростаючих лінійно із збільшенням координати х. Щоб рішення було обмеженим, потрібно зажадати
,
Ця система лінійних (відносно) рівнянь має нетривіальне рішення за умови
Малюнок 2? Розривна крива дисперсії для хвилі, що розповсюджується в періодичній структурі
, (37)
Отже, при перше наближення дає поправку до частоти [1] і:
(38)
Залежність зображена на Рис.3. Видно, що дисперсійна крива відчуває розрив при . З'являється заборонена смуга часто шириною; хвилі з частотами, що лежать всередині смуги, в системі швидко загасають.
Співвідношення можна переписати як ( - довжина хвилі, а - просторовий період неоднорідності); його часто називають умовою бреггівського відображення хвилі від періодичної структури.
Це означає, що при тобто в забороненій смузі частот, біжить хвиля ефективно відбивається від неоднорідностей середовища, і її енергія передається хвилі, що біжить у зворотному напрямку (цей відбір енергії можна називати «загасанням»). У свою чергу зустрічна хвиля також перевідбивається, повертаючи частину енергії вихідної хвилі. Іншими словами, поблизу області просторового резонансу дві хвилі, що біжать в позитивному і негативному напрямках осі х, сильно пов'язані один з одним. Результатом такої взаємодії є зсув частоти (38); нагадаємо, що аналогічне явище в теорії коливань має місце дня двох зв'язаних коливальних контурів.
2. Генерація другої гармоніки в нелінійних періодичних структурах
У цій главі буде розглянута генерація другої гармоніки в середовищі, функція лінійного відгуку якої змінюється залежно від координати по періодичному закону. Для простоти розрахунку розглядається одновимірний випадок. Хвиля розглядається як плоска, лінійно поляризована і монохроматична, притому поляризація її під час процесу не змінюється.
Також скористаємося наближенням заданого поля, тобто зворотну реакцію другої гармоніки будемо вважати нескінченно малою. З причини того, що розміри неоднорідності...
