сумірні з довжиною хвилі, метод повільно змінних амплітуд застосовувати не можна. Таким чином, говорити про рівність як про умову фазового узгодження в даному випадку свідомо невірно. Таким чином, до вирішення хвильового рівняння в даній ситуації потрібно принципово інший підхід.
2.1 Висновок хвильового рівняння для періодичних середовищ з квадратичною нелінійністю. Коректність рівняння (1) першого розділу для одновимірної задачі
Насамперед, покладемо, що тензор діелектричної проникності середовища приведений до діагонального вигляду (Для зручності нумерацію формул почнемо з одиниці).
(1)
Положення (1) значно спрощує розрахунки. Тепер розглянемо рівняння Максвелла для немагнітною середовища:
(2)
Тут: (3). Вектор нелінійної поляризації, також як і перший доданок (3), ми розкладемо по базису, але для початку з системи (2) отримаємо хвильове рівняння:
(3)
Вкажемо, що компоненти тензорів лінійного та нелінійного відгуків середовища не залежать від часу, і надалі під компонентами і будемо розуміти безпосередньо спектральні компоненти і.
Отже, компоненти вектора нелінійної поляризації мають вигляд:
(4) і
(5).
Вектор, представлений компонентами (4), відповідає детектуванню електростатичного поля і в даній роботі розглянуто не буде. Генерації другої гармоніки відповідає вектор з компонентами (5). Щоб не вводити в оману, обмовимо відразу, що частоти під знаками діелектричної проникності в (4) і в (5) незалежними змінними не є. Частота в дужках показує, який гармоніці відповідає вектор напруженості. Хвильове рівняння (3) перетворимо до виду, подібного до рівняння Гельмгольца:
(6)
Рівняння (6) тепер потрібно привести до одновимірного випадку. Для цього розглянемо перший доданок в лівій частині рівняння (6):
(7)
Рівняння (7) розбиваємо по компонентах в Декартових координатах:
Наступні кроки такі: покладемо, що з усіх компонент вектора напруженості існує тільки. Тепер що стосується відгуків середовища: лінійний виберемо таким чином:
(7).
А нелінійний:
(9),
де,,,. Матриця нелінійної сприйнятливості (9) відповідає кристалу ніобіту літію LiNbO3.
Причина такого вибору очевидна: у перших, кристал ніобіту літію володіє ненульовий компонентою; по друге, в лабораторних умовах найчастіше вирощують з регулярною доменною структурою саме цей сегнетоелектрик.
Подальші перетворення очевидні. У наступних рівняннях координатні індекси будуть опущені. Таким чином, маємо:
(10)
Верхнє рівняння системи (10) відповідає хвилі першої гармоніки.
У наближенні заданого поля права частина нижнього рівняння системи (10) розглядається як змушує сила. Воно вирішується як неоднорідне, в якому є рішенням верхнього рівняння.
У світлі наведених вище викладок, коректність рівняння (1) з першої глави очевидна.
.1 Рішення хвильового рівняння для хвилі, що біжить в одну сторону
Для верхнього рівняння системи (10) побудуємо систему Флоке - Блоха:
(11) і
(12)
