няння (82 ):
,
. (83)
Знайдемо тепер довжину фазового шляху (56) для профілів (80) і (83). Оскільки залежність задана за допомогою зворотних функцій, зручно використовувати диференціальне вираз для в вигляді. Підставляючи сюди значення з (78), можна переписати формулу (56) у вигляді
. (84)
Обчислюючи інтеграл (84), отримуємо
. (85)
Довжина фазового шляхи для профілю (83) знаходиться аналогічно:
. (86)
Таким чином, поле в неоднорідних діелектриках, якi характеризуються профілями, заданими за допомогою зворотних функцій (80) і (83), також представляється у вигляді біжучої хвилі (76) у просторі фазових траєкторій. Нелокальна дисперсія таких середовищ, обумовлена ??неоднорідністю, описується параметром N (60). Нормальна і аномальна дисперсії визначаються формулами (67) і (68) з характерними частотами, відповідними профілями (80) і (83):
,
. (87)
Незважаючи на відмінність формул, що описують моделі неоднорідного діелектрика (61) і (79), можна відзначити деякі загальні властивості цих моделей [8].
. При визначенні хвильового числа (60) не враховується локальна частотна дисперсія показника заломлення. Зміна хвильового числа в смузі частот під дією цього ефекту характеризується відношенням
.
Далеко від резонансних частот це відношення мало:. Водночас нелокальна дисперсія, яка характеризується частотами, може істотно змінити не тільки величину q , а й сам характер поширення, наприклад, для частот.
. При аналізі моделей (61) і (79) передбачалося, що масштаби розподілу неоднорідності L істотно менше характерних довжин поглинання хвиль; при цьому поглинання не враховувався, а значення L були дійсні. Однак ці ж моделі легко узагальнюються і на випадок поглинає діелектрика з неоднорідним розподілом комплексної діелектричної проникності. У цьому випадку параметри і - комплексні величини:.
. Біжать хвилі (60) описують лише одне з рішень рівняння (59) - пряму хвилю. Друге рішення цього рівняння (зворотна хвиля) відповідає заміні в рішенні (60) множника на.
Таким чином, комбінація моделей (61) - (79) дозволяє побудувати широкі класи точно розв'язуваних моделей неоднорідних діелектриків з несинусоїдальними періодичними розподілами. В рамках цих моделей можна представити аналітично внесок розривів як показника заломлення, так і його першої та другої похідних у формування відбитої і пройшла хвиль.
1.15 Рішення пов'язаних хвильових рівнянь методом послідовних наближень
Розглянемо середу, в якій швидкість поширення хвилі є періодичною функцією якої однієї просторової координати (наприклад, х):
, (28)
де (- просторовий період решітки).
Вважаємо, що неоднорідність мала,. У цьому випадку рівняння для хвилі, що розповсюджується вздовж осі х, можна записати у вигляді:
(29)
Припустимо, що залежність від часу - гармонійна:.
Для амплітуди А маємо таке рівняння:
, (30)
Використовуючи метод послідовних наближень по малому параметру, шукаємо рішення у вигляді
, або (31)
де,. За...
