казати, що
a = 0. (3)
Для цього насамперед переконаємося, що при n В№ m
AnAm = 0. (4)
Справді, якби точка z входила до A n A m , то точки х n = zr n , х m = zr m були б (очевидно, різними) точками множини A, тобто представниками двох різних класів, чого бути не може, бо їх різниця х n -х m = r m -r n є число раціональне. Отже, (4) доведено. p> З іншого боку, легко побачити, що за будь k
A k ГЊ [-, +]
(бо, якщо хГЋA k , то x = x 0 + r k , де Г· х 0 ВЅ ВЈ 1/2, ВЅ r k ВЅ ВЈ 1), так що
В ГЊ [-, +]. (5)
З (5) і (4), в силу теореми 6 випливає, що
3 = m * [-, +] Ві m * [] Ві,
звідки p> a + a + a + ... ВЈ 3 та a = 0
Зіставляючи (1) і (3), отримаємо m * А
Зауваження. Якщо б ми з самого початку розбили на класі не сегмент [-1/2, +1/2], а довільне вимірне безліч Е позитивної заходи, то, буквально повторюючи проведене міркування, прийшли б до незрівнянної множині А ГЊ Є. Отже, всяке безліч позитивної заходи містить незмірну частину.
