= 2 з , то ясно, що 2 з .
Теорема доведена. p> Тим не менш, має місце наступна теорема. p> Теорема 5. Існують обмежені незмірні множини.
Для доказу цього факту наведемо наступний приклад. p> Приклад невимірного множини. Розіб'ємо всі крапки сегмента [-1/2, +1/2] на класи, відносяться дві точки x і у в один клас, тоді й тільки тоді, коли різниця їх х - у є число раціональне. Це можна зробити наступним чином: співвіднесемо кожній точці хГЋ [-1/2, +1/2] клас K (х), що складається з тих точок сегмента [-1/2, +1/2], які мають вигляд х + r, де r-раціональне число. Зокрема х ГЋ K (х). p> Покажемо, що р о з л і ч н и е класи K (х) і K (у) не перетинаються між собою. Дійсно, припустимо, що вони перетинаються і нехай zГЋK (х) K (у). Тоді z = х + r х = у + r у , де r х і r у раціональні числа, звідки
у = х + r х - r у , де r x і r у раціональні числа, звідки у = x + r x - r у.
Тепер, якщо t ГЋ K (у), то
t = у + r = x + (r x - r у + r) = x + r ',
так що tГЋK (x) і K (у) ГЊ K (x). Аналогічно ми встановимо, що K (x) ГЊ K (у) і тоді виявиться, що K (x) = K (у), тобто K (x) і K (у) представляють собою один і той же клас, всупереч припущенням, що це різні класи. p> Безліч всіх побудованих таким чином класів і дає нам необхідну розбиття. p> Зробивши це, виберемо з кожного класу по одній точці і позначимо через А безліч вибраних точок. p> Безліч А незмірно.
Щоб довести це, перенумеруем всі раціональні точки сегмента [-1, +1]:
r про = 0, r 1 , r 2 , r 3, ...
і позначимо через А k безліч, що отримується з множини А зрушенням
j k (x) = x + r k . p> (Інакше кажучи, якщо x ГЋ A, то x + r k ГЋ A k , і якщо x ГЋ A k , то x - r k ГЋ A). p> Зокрема, А 0 = A. Всі множини А k конгруентний один з одним, а тому (теорема 8)
m * A k = m * A = a, m * A k = m * A = b (k = 0, 1, 2, ...). h1> Переконаємося, що
b> 0. (1)
Для цього зауважимо, що
[-, +]. (2)
Дійсно, якщо х ГЋ [-, +], То х потрапляє в один з класів виробленого вище розбиття. Якщо представник цього класу в множині A є х 0, то різниця х - х 0 є число раціональне і притому, очевидно, належить сегменту [-1, +1], звідки х - х 0 = r k і х ГЋ A k . Отже, (2) доведено. p> Але тоді (теорема 5):
1 = m * [-, +] ВЈ m * [] ВЈ,
т. е.
1 ВЈ b + b + b + ...,
звідки слід (1).
З іншого боку, легко по...
